Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas e observações imediatas:
- A função que aparece no numerador é
(o arco-seno de ), elevada ao quadrado. - No denominador aparece
, que limita o domínio natural da expressão a (onde a raiz e o arco-seno estão bem definidos no ramo principal). - A integral é indefinida: devemos encontrar uma antiderivada mais constante de integração
. - Não há outras condições; basta achar uma forma explícita da primitiva.
Passo 2
Ideia chave (observação útil para resolver): a derivada de
relaciona-se exatamente com
. Vamos descobrir isso passo a passo para justificar uma substituição simples.
Se definirmos
, então por definição temos
Diferenciando ambos os lados em relação a
(implicando
função de
), obtemos
Logo
Agora use que
(no ramo principal
quando
). Portanto
Esse cálculo mostra que o diferencial
coincide com o quociente
que aparece na integral — ótima notícia para uma substituição direta.
Passo 3
Faça a substituição explicitamente. Tome
Pelo passo anterior temos
Reescrevendo a integral original em termos de
, note que
e que
. Assim a integral fica
Passo 4
Agora integramos uma potência simples. Recorde (regra do poder para integrais): para
,
Aqui
, portanto
Passo 5
Volte à variável original substituindo
. Assim a primitiva da integral dada é
Pequena verificação mental: derivando
usando a regra da cadeia, obtemos
que é exatamente o integrando, então está correto.
Passo 6
Dica prática para prova: sempre que vir uma potência de
multiplicada por
, pense imediatamente na substituição
porque
. Exemplos rápidos: