\int \frac{\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{2} d x}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{2}\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função que aparece no numerador é \operatorname{sen}^{-1} x (o arco-seno de x), elevada ao quadrado.
  • No denominador aparece \sqrt{1-x^{2}}, que limita o domínio natural da expressão a x\in(-1,1) (onde a raiz e o arco-seno estão bem definidos no ramo principal).
  • A integral é indefinida: devemos encontrar uma antiderivada mais constante de integração C.
  • Não há outras condições; basta achar uma forma explícita da primitiva.

Passo 2

Ideia chave (observação útil para resolver): a derivada de \operatorname{sen}^{-1} x relaciona-se exatamente com \sqrt{1-x^{2}}. Vamos descobrir isso passo a passo para justificar uma substituição simples.
Se definirmos u=\operatorname{sen}^{-1} x, então por definição temos
\operatorname{sen} u = x.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (implicando u função de x), obtemos
\cos u\;\frac{du}{dx}=1.
Logo
\frac{du}{dx}=\frac{1}{\cos u}.
Agora use que \cos u=\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}u}=\sqrt{1-x^{2}} (no ramo principal \cos u\ge0 quando u\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]). Portanto
\frac{du}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad\Rightarrow\quad du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Esse cálculo mostra que o diferencial du coincide com o quociente dx/\sqrt{1-x^{2}} que aparece na integral — ótima notícia para uma substituição direta.

Passo 3

Faça a substituição explicitamente. Tome
u=\operatorname{sen}^{-1} x.
Pelo passo anterior temos
du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Reescrevendo a integral original em termos de u, note que \left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{2}=u^{2} e que dx/\sqrt{1-x^{2}}=du. Assim a integral fica
\int \frac{\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{2}\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}} =\int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora integramos uma potência simples. Recorde (regra do poder para integrais): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, portanto
\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}+C.

Passo 5

Volte à variável original substituindo u=\operatorname{sen}^{-1} x. Assim a primitiva da integral dada é
\frac{\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{3}}{3}+C.
Pequena verificação mental: derivando \dfrac{(\operatorname{sen}^{-1} x)^{3}}{3} usando a regra da cadeia, obtemos
\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},
que é exatamente o integrando, então está correto.

Passo 6

Dica prática para prova: sempre que vir uma potência de \operatorname{sen}^{-1} x multiplicada por dx/\sqrt{1-x^{2}}, pense imediatamente na substituição u=\operatorname{sen}^{-1} x porque du=dx/\sqrt{1-x^{2}}. Exemplos rápidos:
\int \frac{\operatorname{sen}^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\frac{\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{2}}{2}+C,
\int \frac{\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{4}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\frac{\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{5}}{5}+C.

Resposta

\frac{\left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)^{3}}{3}+C

Exercícios relacionados