Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n^{3}+4 n+3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad\text{com}\quad a_n = \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n^3 + 4n + 3}}
é convergente ou divergente. Esse é um problema de séries de termos positivos; vamos usar o teste da comparação assintótica (ou teste da série-p).

Passo 2

Para identificar o comportamento de a_n quando n\to\infty, note que
\sqrt{n^3 + 4n + 3} = (n^3 + 4n + 3)^{1/2} \sim (n^3)^{1/2} = n^{3/2}.
Logo, para n grande,
a_n = \frac{n^{1/3}}{\sqrt{n^3 + 4n + 3}} \sim \frac{n^{1/3}}{n^{3/2}} = n^{-7/6}.
E sabemos que a série
\sum_{n=1}^\infty n^{-7/6}
é convergente, pois 7/6>1.

Passo 3

Para formalizar com o teste da comparação limite, calculamos
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n^{-7/6}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{1/3}/\sqrt{n^3+4n+3}}{n^{-7/6}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{1/3}\,n^{7/6}}{\sqrt{n^3+4n+3}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{3/2}}{\sqrt{n^3+4n+3}}.
Como \sqrt{n^3+4n+3}\sim n^{3/2}, esse limite vale 1 (um número finito e não nulo). Pelo teste de comparação por limite, nossa série tem o mesmo comportamento da série \sum n^{-7/6}, que converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n^3+4n+3}} é convergente.

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