Encontre os valores de p para os quais a série é convergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(1+n^{2}\right)^{p}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de p tais que a série
\sum_{n=1}^{\infty} n\,(1+n^{2})^{p}
é convergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas e, para isso, vamos usar análise assintótica (comparação com séries- p).

Passo 2

Para n muito grande, 1+n^{2} comporta-se como n^{2}. Logo,
(1+n^{2})^{p}\sim n^{2p},
e o termo geral da série satisfaz
a_{n}=n\,(1+n^{2})^{p}\sim n\cdot n^{2p}=n^{2p+1}.

Passo 3

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}n^{\alpha}
converge se, e somente se, \alpha<-1. Aqui temos \alpha=2p+1, então a condição de convergência é
2p+1 < -1 \quad\Longrightarrow\quad p < -1.

Resposta

A série converge exatamente para p< -1.

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