Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+1}\Bigr)^{n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o Teste da raiz n-ésima, que é ideal quando os termos têm a potência n.

Passo 2

Seja
a_{n} = \Bigl(\frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+1}\Bigr)^{n}.
O Teste da raiz diz que, definindo
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}},
se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculamos
\sqrt[n]{a_{n}} = \frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}+1}{2\,n^{2}+1} = \frac{1}{2}.
Isso ocorre porque, dividindo numerador e denominador por n^{2}, sobra \tfrac{1+1/n^{2}}{2+1/n^{2}}\to\tfrac12.

Passo 4

Como L=\tfrac12<1, o Teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Logo, a série original converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\bigr)^{n} converge (na verdade, converge absolutamente pelo teste da raiz).

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