Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 5}+\frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 5 \cdot 7}+\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 10}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}+\cdots +\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot(3 n-2)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot(2 n+1)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot4\cdot7\cdots(3n-2)}{3\cdot5\cdot7\cdots(2n+1)}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. O conteúdo principal aqui é séries numéricas, e vamos usar o Teste da Razão para analisar o comportamento do termo geral.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_n = \frac{1\cdot4\cdot7\cdots(3n-2)}{3\cdot5\cdot7\cdots(2n+1)}.
Note que todos os termos são positivos, então convergência absoluta coincide com convergência simples.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{1\cdot4\cdots(3n-2)\cdot(3(n+1)-2)}{3\cdot5\cdots(2n+1)\cdot(2(n+1)+1)}}% {\displaystyle\frac{1\cdot4\cdots(3n-2)}{3\cdot5\cdots(2n+1)}} = \frac{3n+1}{2n+3}.

Passo 4

Tomamos o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{2n+3} = \frac{3}{2}.
Como esse limite é maior que 1, o Teste da Razão nos diz que a série diverge. Além disso, o fato de \lim_{n\to\infty}a_n\neq0 já impede convergência.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados