Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
  1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries, em particular análise de convergência absoluta via séries de p-serie.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série de termos não negativos obtida pelo valor absoluto dos termos gerais:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 3

Reconhecemos \sum 1/n^{3/2} como uma p-série com p=3/2. Como p>1, pela convergência da p-série, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}
converge. Logo, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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