Teste a série quanto a convergência ou divergência.
11. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n^{2}}{4 n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{2n^{2}}{4n^{2}+1}
converge ou diverge. Vamos primeiro verificar o teste do termo geral (condição necessária para convergência) e, se fosse o caso, o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Seja a_{n}=(-1)^{n-1}\frac{2n^{2}}{4n^{2}+1}. Para que a série convergente é necessário ter
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Note que
\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}}{4n^{2}+1} =\frac{2}{4} =\frac12\neq 0,
logo \lvert a_{n}\rvert\to\tfrac12. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n}
não existe como zero (os termos oscilam entre valores próximos de +\tfrac12 e -\tfrac12).

Passo 3

Como a condição \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 não é satisfeita, a série não pode convergir (mesmo sem recorrer ao teste de Leibniz).

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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