Teste a série quanto a convergência ou divergência.
14.
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Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Conteúdo: séries numéricas, em particular o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste da série de Cauchy condensada).
Passo 2
Definimos
Note que a função
tem derivada
logo
é decrescente para
. Além disso,
Passo 3
Pela série ser alternada, com termos em valor absoluto decrescentes a zero, podemos aplicar o critério de Leibniz:
seja
seja
então ela converge.
Passo 4
Para ver se há convergência absoluta, analisamos
Usamos o teste da série condensada de Cauchy: como
é positiva e decrescente, definimos
.
Mas
quando
, logo
diverge, e portanto
também diverge. Assim não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).