Teste a série quanto a convergência ou divergência.
14. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt[3]{\ln n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt[3]{\ln n}}
Conteúdo: séries numéricas, em particular o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste da série de Cauchy condensada).

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{\ln n}}\,,\quad n\ge2.
Note que a função
f(x)=\bigl(\ln x\bigr)^{-\!1/3},\quad x>1,
tem derivada
f'(x) = -\frac{1}{3\,x\,(\ln x)^{4/3}} < 0,
logo (a_n) é decrescente para n\ge2. Além disso,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\ln n)^{1/3}} = 0.

Passo 3

Pela série ser alternada, com termos em valor absoluto decrescentes a zero, podemos aplicar o critério de Leibniz:
seja
\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n-1}a_n,
então ela converge.

Passo 4

Para ver se há convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=2}^\infty a_n = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\ln n)^{1/3}}.
Usamos o teste da série condensada de Cauchy: como a_n é positiva e decrescente, definimos b_k = 2^k a_{2^k}.
b_k = \frac{2^k}{(\ln 2^k)^{1/3}} = \frac{2^k}{(k\ln 2)^{1/3}}.
Mas 2^k/(k\ln2)^{1/3}\to\infty quando k\to\infty, logo \sum b_k diverge, e portanto \sum a_n também diverge. Assim não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).

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