Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
2. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
ser classificada como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal envolve testes de convergência de séries alternadas (Teste de Leibniz) e análise de convergência absoluta (p-série).

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, isto é,
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}.
Como se trata de uma p-série com p=\tfrac12\le1, ela diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o Teste de Leibniz para séries alternadas. Definimos
a_n=\frac{1}{\sqrt{n}},
e observamos que:
  1. a_n>0 para todo n.
  2. a_{n+1}=\tfrac1{\sqrt{n+1}}<\tfrac1{\sqrt{n}}=a_n, ou seja, (a_n) é decrescente a partir de algum N.
  3. \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
Pelos critérios do Teste de Leibniz, esses três pontos garantem que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n
converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} é condicionalmente convergente.

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