Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(3 n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{2\cdot5\cdot8\cdots(3n+2)}.
Informações dadas e o que se pede:
  • O termo geral é positivo para todo n.
  • O denominador é o produto dos termos da progressão aritmética 3k+2 para k=0,1,\dots,n; isto é, posso definir
P_n=\prod_{k=0}^{n}(3k+2)=2\cdot5\cdot8\cdots(3n+2),
e então o termo geral é
a_n=\frac{n!}{P_n}.
  • Precisa-se decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 2

Escolha do método: como há um n! no numerador e um produto no denominador com um fator novo a cada n, o teste da razão (teste de d’Alembert) é natural e simples de aplicar. Vou usar esse teste porque ele compara termos consecutivos e lida bem com fatoriais e produtos.

Passo 3

Enunciado do teste da razão (explicado de forma simples): para uma série com termos a_n (positivos ou complexos), definir
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui os a_n são positivos, então \left|a_{n+1}/a_n\right|=a_{n+1}/a_n.

Passo 4

Calcular a razão entre termos consecutivos. Usando P_n=\prod_{k=0}^{n}(3k+2) temos P_{n+1}=P_n\,(3n+5). Então
a_{n}=\frac{n!}{P_n},\qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{P_{n+1}}=\frac{(n+1)!}{P_n(3n+5)}.
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\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{P_n(3n+5)}\cdot\frac{P_n}{n!}=\frac{n+1}{3n+5}.

Passo 5

Calcular o limite da razão quando n\to\infty. Para
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{3n+5},
divido numerador e denominador por n (ou observo os coeficientes dominantes) e obtenho
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n+5}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Conclusão pelo teste da razão: como o limite L=\dfrac{1}{3}<1, a série converge absolutamente. Explicando de forma direta: quando a razão entre termos tende a 1/3, o comportamento assintótico é similar ao de uma série geométrica com razão 1/3, que converge; o teste da razão garante então convergência absoluta.
Além disso, os termos são positivos, portanto não há distinção prática entre convergência e convergência absoluta aqui — a série não pode ser apenas condicional: ela é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente.

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