Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(3 n+2)}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a convergência da série
Precisa-se decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 2
Escolha do método: como há um n! no numerador e um produto no denominador com um fator novo a cada n, o teste da razão (teste de d’Alembert) é natural e simples de aplicar. Vou usar esse teste porque ele compara termos consecutivos e lida bem com fatoriais e produtos.
Passo 3
Enunciado do teste da razão (explicado de forma simples): para uma série com termos a_n (positivos ou complexos), definir
Calcular o limite da razão quando n\to\infty. Para
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{3n+5},
divido numerador e denominador por n (ou observo os coeficientes dominantes) e obtenho
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n+5}=\frac{1}{3}.
Passo 6
Conclusão pelo teste da razão: como o limite L=\dfrac{1}{3}<1, a série converge absolutamente. Explicando de forma direta: quando a razão entre termos tende a 1/3, o comportamento assintótico é similar ao de uma série geométrica com razão 1/3, que converge; o teste da razão garante então convergência absoluta.
Além disso, os termos são positivos, portanto não há distinção prática entre convergência e convergência absoluta aqui — a série não pode ser apenas condicional: ela é absolutamente convergente.