Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Certifique-se de identificar claramente e justificar o uso de qualquer teste de convergência utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n 5^{n}}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
Temos a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n\,5^{n}}.
O que nos pedem: determinar se a série converge ou diverge e justificar o teste(s) usado(s).
Informações úteis que já podemos extrair:
  • Os termos são positivos para todo n\ge1.
  • Podemos reescrever cada termo como
a_n=\frac{3^{n}}{n\,5^{n}}=\frac{1}{n}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.

Passo 2

Vou explicar e aplicar o Teste da Comparação (um teste bem básico e direto).
Enunciado do Teste da Comparação (forma utilizada): se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum N e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
Aqui escolho como sequência compareante a série geométrica
b_n=\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Justificativa da desigualdade: para todo n\ge1 vale \dfrac{1}{n}\le 1. Assim
a_n=\frac{1}{n}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}\le 1\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{n}=b_n.
Agora verifico a convergência de \sum b_n. A soma de uma série geométrica com termo geral r^n (começando em n=1) é convergente se |r|<1, com soma
\sum_{n=1}^{\infty} r^n=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso r=\dfrac{3}{5} e \left|\dfrac{3}{5}\right|=\dfrac{3}{5}<1, logo \sum b_n converge. Pelo Teste da Comparação, como 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.

Passo 3

Explico rapidamente outro teste que confirma o resultado (opcional, para reforço): o Teste da Razão. Para a_n=\dfrac{3^n}{n5^n} temos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)5^{n+1}}\cdot\frac{n5^n}{3^n}=\frac{3}{5}\cdot\frac{n}{n+1}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{5}.
Como esse limite é menor que 1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente. (Isto é consistente com o resultado do Passo 2.)

Passo 4

Interpretação final e incentivo: a série converge; como os termos são positivos, essa convergência é também absoluta. Bom trabalho — a estratégia típica em provas é tentar comparar com uma geométrica ou usar o teste da razão/raiz quando aparecem potências exponenciais como 3^n e 5^n.

Resposta

\text{Converge (convergência absoluta)}ê

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