Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Certifique-se de identificar claramente e justificar o uso de qualquer teste de convergência utilizado. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n 5^{n}}
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
Temos a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n\,5^{n}}.
O que nos pedem: determinar se a série converge ou diverge e justificar o teste(s) usado(s).
Informações úteis que já podemos extrair:
Vou explicar e aplicar o Teste da Comparação (um teste bem básico e direto).
Enunciado do Teste da Comparação (forma utilizada): se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum N e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
Aqui escolho como sequência compareante a série geométrica
b_n=\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Justificativa da desigualdade: para todo n\ge1 vale \dfrac{1}{n}\le 1. Assim
Agora verifico a convergência de \sum b_n. A soma de uma série geométrica com termo geral r^n (começando em n=1) é convergente se |r|<1, com soma
\sum_{n=1}^{\infty} r^n=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso r=\dfrac{3}{5} e \left|\dfrac{3}{5}\right|=\dfrac{3}{5}<1, logo \sum b_n converge. Pelo Teste da Comparação, como 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.
Passo 3
Explico rapidamente outro teste que confirma o resultado (opcional, para reforço): o Teste da Razão. Para a_n=\dfrac{3^n}{n5^n} temos
Como esse limite é menor que 1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente. (Isto é consistente com o resultado do Passo 2.)
Passo 4
Interpretação final e incentivo: a série converge; como os termos são positivos, essa convergência é também absoluta. Bom trabalho — a estratégia típica em provas é tentar comparar com uma geométrica ou usar o teste da razão/raiz quando aparecem potências exponenciais como 3^n e 5^n.