Determine se as séries convergem ou divergem. Explicite qual teste foi utilizado.
sumk=1^infty k^p-1k^p+1, p>0

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar a convergência da série sumk=1^infty k^p-1k^p + 1, que pertence ao conteúdo de testes de convergência de séries numéricas. Precisamos identificar um teste adequado, como comparação ou comparação em limite, para avaliar o comportamento dos termos quando ktoinfty.

Passo 2

Para valores grandes de k observamos que k^p + 1sim k^p. Assim o termo geral da série satisfaz k^p-1k^p + 1sim k^p-1k^p=1k. Isso indica uma semelhança assintótica com a série harmônica.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação em limite entre ak=k^p-1k^p + 1 e bk=1k. Calculamos
limktoinftyakbk=limktoinftyk^p-1/(k^p+1)1/k=limktoinftyk^pk^p+1=1

Passo 4

Como a série harmônica sum 1/k diverge e o limite de comparação é um número finito e não nulo, concluímos por esse teste que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge para todo p>0, por comparação em limite com a série harmônica.

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