Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 1n raizln n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=2^infty 1n raizln n é convergente ou divergente. Vamos usar o teste da integral, pois a função associada f(x)=1xraizln x é positiva e decrescente para x>=2.

Passo 2

Consideramos a integral imprópria
integral2^infty dxxraizln x
Fazemos a substituição t=ln x, de modo que dt=dxx. Quando x=2, temos t=ln2 e quando xtoinfty, ttoinfty.

Passo 3

Usando a substituição, a integral vira
integral2^infty dxxraizln x = integralln2^infty dtraizt = 2raizt,|t=ln2^ttoinfty = 2limttoinftyraizt-2raizln2 = infty
Como a integral diverge, o teste da integral nos garante que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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