Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumk=1^infty (2 k)^2 k(2 k)!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumk=1^infty (2k)^2k(2k)!. O conteúdo é teste de convergência de séries de termos positivos; vamos usar o teste da razão.

Passo 2

No teste da razão, calculamos limktoinfty ak+1ak, onde ak = (2k)^2k(2k)!.

Passo 3

Calculamos o quociente e simplificamos:
ak+1ak= (2k+2)^2k+2(2k+2)!cdot(2k)!(2k)^2k= (2k+2)^2k+1(2k+1),(2k)^2k= l(1+tfrac1kr)^2k,2k+22k+1

Passo 4

Agora aplicamos o limite:
limktoinftyak+1ak= limktoinftyl(1+tfrac1kr)^2kcdotlimktoinfty2k+22k+1= e^2cdot1 = e^2 > 1

Passo 5

Como o limite da razão é maior que 1, pelo teste da razão a série diverge. Por ser de termos positivos, não há convergência absoluta nem condicional.

Resposta

Divergente

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