Sejam f(x)=x^1 / 3, g(x)=x^3 e s(x)=x^4. Qual é a única dessas funções que possui um ponto de inflexão no ponto ( 0,0 )? Lembre-se de que uma das condições para a função h(x) ter ponto de inflexão em (c, h(c) ) é a existência da reta tangente ao gráfico de h nesse ponto.
(2.5 pontos)

Passo 1

Vamos verificar qual das funções f(x)=x^{1/3}, g(x)=x^3 e s(x)=x^4 tem ponto de inflexão em (0,0). O que precisamos: 1) a reta tangente existe em x=0 (derivada existe e é finita) e 2) a concavidade muda de sinal ao passar por x=0 (segunda derivada muda de negativo para positivo ou vice-versa).

Passo 2

Para f(x)=x^{1/3} calculamos a derivada: f’(x)= tfrac13x^-2/3. Em x=0 isso diverge para infinito, então não existe reta tangente em (0,0). Assim, f não pode ter ponto de inflexão ali.

Passo 3

Para g(x)=x^3 temos g’(x)= 3x^2, logo g’(0)=0 e a reta tangente existe (é horizontal). A segunda derivada é g’’(x)= 6x, que é negativa para x<0 e positiva para x>0. Como g’’ muda de sinal atravessando 0, a concavidade muda, logo há ponto de inflexão em (0,0).

Passo 4

Para s(x)=x^4 temos s’(x)= 4x^3, então s’(0)=0 e a reta tangente existe. A segunda derivada é s’’(x)= 12x^2, que é sempre não negativa e não muda de sinal ao redor de x=0. Portanto, não há ponto de inflexão em (0,0) para s.

Resposta

A única função que tem ponto de inflexão em (0,0) é g(x)=x^3.

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