Sejam
e
. Qual é a única dessas funções que possui um ponto de inflexão no ponto ( 0,0 )? Lembre-se de que uma das condições para a função
ter ponto de inflexão em (c,
) é a existência da reta tangente ao gráfico de h nesse ponto.
(2.5 pontos)
(2.5 pontos)
Passo 1
Vamos verificar qual das funções f(x)=x^{1/3}, g(x)=x^3 e s(x)=x^4 tem ponto de inflexão em (0,0). O que precisamos: 1) a reta tangente existe em x=0 (derivada existe e é finita) e 2) a concavidade muda de sinal ao passar por x=0 (segunda derivada muda de negativo para positivo ou vice-versa).
Passo 2
Para f(x)=x^{1/3} calculamos a derivada: f’(x)=
. Em x=0 isso diverge para infinito, então não existe reta tangente em (0,0). Assim, f não pode ter ponto de inflexão ali.
Passo 3
Para g(x)=x^3 temos g’(x)=
, logo g’(0)=0 e a reta tangente existe (é horizontal). A segunda derivada é g’’(x)=
, que é negativa para x<0 e positiva para x>0. Como g’’ muda de sinal atravessando 0, a concavidade muda, logo há ponto de inflexão em (0,0).
Passo 4
Para s(x)=x^4 temos s’(x)=
, então s’(0)=0 e a reta tangente existe. A segunda derivada é s’’(x)=
, que é sempre não negativa e não muda de sinal ao redor de x=0. Portanto, não há ponto de inflexão em (0,0) para s.
Resposta
A única função que tem ponto de inflexão em (0,0) é
.