Indique o tipo de indeterminação ( 0 / 0 ou infty / infty ) e utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x (pi2)^+ cos (x) ln (1x-pi / 2), sabendo que lim x (pi / 2) cos ^2(x)(x-pi / 2)=0;
(1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto(pi/2)^+cos(x),lnl(tfrac1x-pi/2r), usando a Regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui é limite de funções do tipo “produto indeterminado” e vamos precisar reescrever como quociente para aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, ao aproximar diretamente xto(pi/2)^+, temos cos(x)to0 e lnl(tfrac1x-pi/2r)to+infty. Então o tipo de indeterminação é 0cdotinfty.

Passo 3

Para usar L’Hôpital transformamos o produto em quociente. Note que
onde cos(x),lnl(tfrac1x-pi/2r)=lnl(tfrac1x-pi/2)sec(x) .
Agora, ao xivar x→(π/2)^+, o numerador sec(x)=1/cos(x) e o denominador lnl(1/(x-pi/2)r)to+infty (na prática sec(x)topminfty, mas interessa só o módulo). É, portanto, uma indeterminação do tipo sec(x)to-infty.

Passo 4

Aplicamos a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
  • Derivada do numerador:
ddxlnl(tfrac1x-pi/2r)=ddxl[-ln(x-pi/2)r]= -1x-pi/2
  • Derivada do denominador:
ddxsec(x)=sec(x)tan(x)
O novo limite é
limxto(pi/2)^+-1/(x-pi/2)sec(x)tan(x)
Simplificando:
-1/(x-pi/2)sec(x)tan(x) = -1(x-pi/2),sec(x)tan(x) = -1(x-pi/2),dfracsin xcos^2 x = -cos^2 x(x-pi/2),sin x

Passo 5

Agora basta avaliar o limite quando xtopi/2. Como cos xto0 e sin xto1, temos
-cos^2 x(x-pi/2),sin x; xrightarrow[xtopi/2];-00cdot1=0
Logo, o limite original é zero.

Resposta

0

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