Indique o tipo de indeterminação (
ou
) e utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
, sabendo que
;
(1.0 ponto)
(1.0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
, usando a Regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui é limite de funções do tipo “produto indeterminado” e vamos precisar reescrever como quociente para aplicar L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, ao aproximar diretamente
, temos
e
. Então o tipo de indeterminação é
.
Passo 3
Para usar L’Hôpital transformamos o produto em quociente. Note que
onde
.
Agora, ao xivar x→(π/2)^+, o numerador e o denominador
(na prática
, mas interessa só o módulo). É, portanto, uma indeterminação do tipo
.
Agora, ao xivar x→(π/2)^+, o numerador
Passo 4
Aplicamos a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
O novo limite é
Simplificando:
Passo 5
Agora basta avaliar o limite quando
. Como
e
, temos
Logo, o limite original é zero.
Resposta
0