Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty (-1)^n-1raiz[3]n^2

Passo 1

Temos a série
sumn=1^infty (-1)^n-1raiz[3]n^2
Aqui o conteúdo é convergência de séries alternadas e p-séries. Vamos usar o teste da p-série para verificar convergência absoluta e o critério de Leibniz para convergência condicional.

Passo 2

Para testar convergência absoluta, consideramos a série com termos positivos
sumn=1^infty |(-1)^n-1raiz[3]n^2| = sumn=1^infty 1n^2/3
Esta é uma p-série com p=2/3. Como p<=1, a p-série diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para testar convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
sumn=1^infty (-1)^n-1an,
onde an=1/n^2/3. Observamos que:
  1. an>0.
  2. an é monoticamente decrescente, pois a função f(x)=x^-2/3 tem derivada f'(x)=-(2/3)x^-5/3<0 para x>0.
  3. limntoinftyan=0.
    Pelos critérios de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Como não há convergência absoluta, mas há convergência pelo critério de Leibniz, concluímos que a série é condicionalmente convergente.

Resposta

Converge condicionalmente.

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