Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Temos a série
Aqui o conteúdo é convergência de séries alternadas e p-séries. Vamos usar o teste da p-série para verificar convergência absoluta e o critério de Leibniz para convergência condicional.
Passo 2
Para testar convergência absoluta, consideramos a série com termos positivos
Esta é uma p-série com p=2/3. Como p<=1, a p-série diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Para testar convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
sumn=1^infty (-1)^n-1an,
onde an=1/n^2/3. Observamos que:
an>0.
an é monoticamente decrescente, pois a função f(x)=x^-2/3 tem derivada f'(x)=-(2/3)x^-5/3<0 para x>0.
limntoinftyan=0.
Pelos critérios de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 4
Como não há convergência absoluta, mas há convergência pelo critério de Leibniz, concluímos que a série é condicionalmente convergente.