Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2 / 3
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se, quando tiramos o valor absoluto de cada termo, a nova série ainda converge. No nosso caso, isso significa analisar a série:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 1n^2 / 3 | = sumn=1^infty 1n^2 / 3
Essa é uma série do tipo p-série, onde a soma dos termos é dada por . Sabemos que uma p-série converge se e diverge se .

Passo 3

No nosso caso, o valor de sumn=1^infty 1n^2 / 3 diver>= é , que é menor que 1. Então, de acordo com o teste da p-série:
Isso significa que a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Como a série original tem termos alternados de sinal, vamos aplicar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência condicional. Esse teste diz que se os termos satisfazem duas condições:
  1. é decrescente.
  2. .
Então, a série converge.
Vamos verificar:
  1. é decrescente porque, conforme aumenta, diminui.
  2. .
Portanto, a série converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

A série é convergente condicionalmente.

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