Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se, quando tiramos o valor absoluto de cada termo, a nova série ainda converge. No nosso caso, isso significa analisar a série:
Essa é uma série do tipo p-série, onde a soma dos termos é dada por . Sabemos que uma p-série converge se e diverge se .
Passo 3
No nosso caso, o valor de sumn=1^infty 1n^2 / 3 diver>= é , que é menor que 1. Então, de acordo com o teste da p-série:
Isso significa que a série não é absolutamente convergente.
Passo 4
Como a série original tem termos alternados de sinal, vamos aplicar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência condicional. Esse teste diz que se os termos satisfazem duas condições:
é decrescente.
.
Então, a série converge.
Vamos verificar:
é decrescente porque, conforme aumenta, diminui.
.
Portanto, a série converge pelo Teste da Série Alternada.