Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita alternada:
. O conteúdo que vamos usar é o Teste das Séries Alternadas, que ajuda a determinar se uma série desse tipo converge ou não. Para resolver isso, precisamos verificar duas condições específicas desse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série alternada. É uma série onde os termos alternam sinais positivos e negativos, como acontece aqui com o
. O Teste das Séries Alternadas nos diz que, para verificar se a série converge, precisamos atender a duas condições principais.
Passo 3
A primeira condição é que a sequência dos termos em módulo, ou seja, sem os sinais, deve estar decreasing (decrescendo). No nosso caso, o termo em módulo é
. Vamos ver se essa sequência diminui conforme
aumenta.
Passo 4
Olha só,
é igual a
, que fica menor à medida que
aumenta porque o denominador cresce. Então,
também diminui conforme
aumenta. Isso já satisfaz a primeira condição do teste.
Passo 5
Agora, a segunda condição é que o limite dos termos em módulo deve ser zero quando
tende ao infinito. Vamos calcular
.
Passo 6
Sabemos que
, porque o expoente negativo faz o termo diminuir para zero. Então,
.
Passo 7
Aqui temos um problema: o limite não é zero, ele é igual a 1. Segundo o Teste das Séries Alternadas, ambas as condições precisam ser verdadeiras para que a série convirja. Como a segunda condição não foi atendida, a série não converge.
Resposta
A série
diverge porque não satisfaz a segunda condição do Teste das Séries Alternadas.