Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n(1+e^-n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita alternada: sumn=1^infty(-1)^n(1+e^-n). O conteúdo que vamos usar é o Teste das Séries Alternadas, que ajuda a determinar se uma série desse tipo converge ou não. Para resolver isso, precisamos verificar duas condições específicas desse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série alternada. É uma série onde os termos alternam sinais positivos e negativos, como acontece aqui com o (-1)^n. O Teste das Séries Alternadas nos diz que, para verificar se a série converge, precisamos atender a duas condições principais.

Passo 3

A primeira condição é que a sequência dos termos em módulo, ou seja, sem os sinais, deve estar decreasing (decrescendo). No nosso caso, o termo em módulo é 1 + e^-n. Vamos ver se essa sequência diminui conforme n aumenta.

Passo 4

Olha só, e^-n é igual a 1e^n, que fica menor à medida que n aumenta porque o denominador cresce. Então, 1 + e^-n também diminui conforme n aumenta. Isso já satisfaz a primeira condição do teste.

Passo 5

Agora, a segunda condição é que o limite dos termos em módulo deve ser zero quando n tende ao infinito. Vamos calcular limlimitsn to infty (1 + e^-n).

Passo 6

Sabemos que limlimitsn to infty e^-n = 0, porque o expoente negativo faz o termo diminuir para zero. Então, limlimitsn to infty (1 + e^-n) = 1 + 0 = 1.

Passo 7

Aqui temos um problema: o limite não é zero, ele é igual a 1. Segundo o Teste das Séries Alternadas, ambas as condições precisam ser verdadeiras para que a série convirja. Como a segunda condição não foi atendida, a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n(1+e^-n) diverge porque não satisfaz a segunda condição do Teste das Séries Alternadas.

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