Sejam
e
a superfície do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Determine 0 fluxo de
através de
.
e
Passo 1
Vamos primeiro entender o que a questão pede: estamos com o campo vetorial
e a superfície fechada
que é o contorno do tetraedro definido pelos planos coordenados e por
. Queremos o fluxo de
saindo de
. Pelo Teorema da Divergência, podemos transformar essa integral de superfície em um integral de volume.
O Teorema da Divergência diz que
Então precisamos calcular
.
Passo 2
Calculando as derivadas parciais, temos
Passo 3
A região
é o tetraedro com vértices em
,
,
e
. Aplicando o Teorema da Divergência,
Passo 4
A constante
é o volume do tetraedro, que vale
Passo 5
Para
, usamos o fato de que o centróide de um tetraedro com vértices em
é
. Aqui
, então
Passo 6
Substituindo de volta em
,
Passo 7
Logo, o fluxo de
através de
é negativo, com valor igual ao resultado acima.
Resposta
-\nfrac{4459}{4608}