Sejam
F(x, y, z)=(x y+z^6) i+2 y^2 j-(x+6 z) k
e S a superfície do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 6 x+2 y+8 z=7. Determine 0 fluxo de F através de S.

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão pede: estamos com o campo vetorial F(x,y,z)=(xy+z^6)i+2y^2 j-(x+6z)k e a superfície fechada S que é o contorno do tetraedro definido pelos planos coordenados e por 6x+2y+8z=7. Queremos o fluxo de F saindo de S. Pelo Teorema da Divergência, podemos transformar essa integral de superfície em um integral de volume.
O Teorema da Divergência diz que integral duplaS Fcdot n,dS=integral triplaV (nablacdot F),dV Então precisamos calcular nablacdot F.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais, temos
nablacdot F=partialpartial x(xy+z^6)+partialpartial y(2y^2)+partialpartial z(-x-6z)=y+4y-6=5y-6

Passo 3

A região V é o tetraedro com vértices em (0,0,0), (7/6,0,0), (0,7/2,0) e (0,0,7/8). Aplicando o Teorema da Divergência,
integral duplaS Fcdot n,dS=integral triplaV(5y-6),dV=5integral triplaVy,dV-6integral triplaV1,dV

Passo 4

A constante integral triplaV1,dV é o volume do tetraedro, que vale
Vol(V)=16cdot76cdot72cdot78=343576

Passo 5

Para integral triplaVy,dV, usamos o fato de que o centróide de um tetraedro com vértices em (0,0,0),(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) é (a/4,b/4,c/4). Aqui b=7/2, então
integral triplaVy,dV=Vol(V)timesb4=343576times7/24=24014608

Passo 6

Substituindo de volta em 5integral triplaVy,dV-6integral triplaV1,dV,
5cdot24014608-6cdot343576=120054608-164644608=-44594608

Passo 7

Logo, o fluxo de F através de S é negativo, com valor igual ao resultado acima.

Resposta

-\nfrac{4459}{4608}

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