Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1raiz[3]n^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty tfrac(-1)^n-1raiz[3]n^2 é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve séries alternantes e p-séries, então vamos precisar do critério de Leibniz e do teste da p-série.

Passo 2

Para a convergência absoluta, analisamos a série das normas dos termos: sumn=1^infty l|anr| = sumn=1^infty 1n^2/3. Esta é uma p-série com p=2/3<1. Pelo teste da p-série, ela diverge quando p<=1. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para a convergência condicional, notamos que a série original é alternante, pois tem termo geral an = tfrac1n^2/3 e fator (-1)^n-1. Verificamos que an é positivo, decrescente (já que n^2/3 cresce com n) e limntoinfty an = 0. Pelo critério de Leibniz, a série alternante converge. Portanto, a série converge condicionalmente.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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