Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve séries alternantes e p-séries, então vamos precisar do critério de Leibniz e do teste da p-série.
Passo 2
Para a convergência absoluta, analisamos a série das normas dos termos: . Esta é uma p-série com p=2/3<1. Pelo teste da p-série, ela diverge quando p<=1. Logo, a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Para a convergência condicional, notamos que a série original é alternante, pois tem termo geral an = tfrac1n^2/3 e fator (-1)^n-1. Verificamos que an é positivo, decrescente (já que n^2/3 cresce com n) e limntoinfty an = 0. Pelo critério de Leibniz, a série alternante converge. Portanto, a série converge condicionalmente.