Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty cos n pi3 n+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty cos npi3n+2 é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Reconhecemos que cos npi = (-1)^n, então a série vira sumn=1^infty (-1)^n3n+2. O conteúdo principal é análise de séries alternadas (teste de Leibniz) e de convergência absoluta.

Passo 2

Para analisar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty |(-1)^n3n+2| = sumn=1^infty 13n+2
Como 13n+2 é comparável a 1n (série harmônica) e sum 1/n diverge, segue que sum 1/(3n+2) também diverge. Logo a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para verificar a convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz na série alternada sumn=1^infty (-1)^n an com an = 1/(3n+2). Observamos que an é positiva, decrescente (pois 3n+2 cresce com n) e limntoinfty an = 0. Assim, pelo teste de Leibniz, a série converge. Como não é absolutamente convergente, a convergência é condicional.

Resposta

Convergente condicionalmente

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