Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Reconhecemos que , então a série vira . O conteúdo principal é análise de séries alternadas (teste de Leibniz) e de convergência absoluta.
Passo 2
Para analisar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Como 13n+2 é comparável a 1n (série harmônica) e sum 1/n diverge, segue que sum 1/(3n+2) também diverge. Logo a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Para verificar a convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz na série alternada sumn=1^infty (-1)^n an com an = 1/(3n+2). Observamos que an é positiva, decrescente (pois 3n+2 cresce com n) e limntoinfty an = 0. Assim, pelo teste de Leibniz, a série converge. Como não é absolutamente convergente, a convergência é condicional.