Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=0^infty(-1)^n 2^n+33^n+2

Passo 1

Temos a série sumn=0^infty(-1)^n2^n+33^n+2. O conteúdo aqui é séries numéricas e convergência absoluta vs. condicional. Para decidir, vamos analisar primeiro a série de módulos sumn=0^inftyl|anr|, onde an=(-1)^n2^n+33^n+2.

Passo 2

Observamos que l|anr|=2^n+33^n+2. Como 3^n+2>3^n para todo n, temos
2^n+33^n+2<2^n+33^n=(tfrac23)^n+3cdot(tfrac13)^n
As séries sum(tfrac23)^n e sum(tfrac13)^n são geométricas com razão menor que 1 e, portanto, convergem.

Passo 3

Pelo critério da comparação, como
0<=2^n+33^n+2<(tfrac23)^n+3,(tfrac13)^n
e a soma das duas séries geométricas é finita, concluímos que
sumn=0^inftyl|anr| converge. Logo a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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