Encontre o domínio de existência das funções reais abaixo.
(1,0 pt) g(x)=-7+raiz[5]3-x12 x^3-8 x^2-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede o domínio de existência da função real g(x)=dfrac-7+raiz[5]3-x12x^3-8x^2-3x+2. Para isso a gente precisa garantir duas coisas: a raiz quinta estar definida (mas como é índice ímpar, ela é definida para todo xinR) e o denominador não pode ser zero. Então o problema se resume a achar onde 12x^3-8x^2-3x+2neq0.

Passo 2

Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para buscar raízes de 12x^3-8x^2-3x+2=0. Os candidatos são pm1,pm2,pmtfrac12,pmtfrac13,pmtfrac23, etc. Testando x=tfrac12:
12l(tfrac12r)^3-8l(tfrac12r)^2-3l(tfrac12r)+2=1.5-2-1.5+2=0

Passo 3

Como x=tfrac12 é raiz, dividimos o polinômio por x-tfrac12 (por exemplo via divisão sintética) e obtemos o quociente 12x^2-2x-4.

Passo 4

Para fatorar 12x^2-2x-4=2(6x^2-x-2), calculamos as raízes da parte quadrática: o discriminante é De, logo
x=1pm712, x=812=23ou x=-612=-12

Passo 5

Portanto o denominador se anula em x=-tfrac12,tfrac12,tfrac23. Para a função existir, basta excluir esses valores do domínio de R.

Resposta

O domínio de g é Rsetminus-tfrac12,tfrac12,tfrac23.

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