Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^infty n ln nn^2 raizn+1

Passo 1

A série dada é sumn=2^infty an, com an=nln nn^2raiz n+1. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas (termos positivos) e vamos precisar do teste de comparação e do comportamento assintótico dos termos, comparando com uma p-série.

Passo 2

Como todos os termos an são positivos, a convergência absoluta é equivalente à convergência simples. Então basta estudar se sum an converge.

Passo 3

Para ver o comportamento de an quando ntoinfty, note que n^2raiz n domina o +1 do denominador. Assim
an=nln nn^2raiz n+1simnln nn^5/2=ln nn^3/2

Passo 4

Agora aplicamos o teste da comparação-limite: definimos bn=ln nn^3/2. Então
limntoinftyanbn=1,
o que mostra que an e bn têm o mesmo comportamento assintótico. Sabemos que sum bn converge pois é p-série com expoente maior que 1, mesmo multiplicada por ln n (por exemplo, via integral integralln xx^3/2dx finita).
Portanto, sum an converge e, como os termos são positivos, isso implica convergência absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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