Calcule as integrais utilizando frações parciais e integração por partes.
integral0^1 x(x-1)(x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1 x(x-1)(x+2),dx, que é uma integral imprópria porque o integrando tem singularidade em x=1. Vamos usar frações parciais para decompor a função racional e depois avaliar o limite que define a integral imprópria.

Passo 2

Queremos escrever x(x-1)(x+2) na forma Ax-1+Bx+2. Então suponha que
x(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+2) obtemos
x=A(x+2)+B(x-1)=(A+B)x+(2A - B)
Comparando coeficientes, temos
A+B=1, 2A - B=0
Resolvendo, B=2A de 2A-B=0, e então 3A=1 A=1/3 e B=2/3.

Passo 3

Assim a integral se torna
integral0^1x(x-1)(x+2),dx=13integral0^11x-1,dx+23integral0^11x+2,dx
Calculamos as primitivas:
integral1x-1,dx=ln|x-1|, integral1x+2,dx=ln|x+2|

Passo 4

Como há singularidade em x=1, definimos a integral impropriamente como limite à esquerda:
I=limtto1^-l[tfrac13l(ln|t-1|-ln|0-1|r)+tfrac23l(ln|t+2|-ln|2|r)r]
Note que ln|0-1|=ln1=0 e ln|2|=ln2, portanto
I=limtto1^-l[tfrac13ln(t-1)+tfrac23(ln3-ln2)r]
À medida que tto1^-, ln(t-1)to-infty, fazendo com que Ito-infty.

Resposta

A integral diverge (vai para -infty).

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