Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-2)^nn 3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos considerar a série com os valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty | (-2)^nn cdot 3^n+1 | = sumn=1^infty 2^nn cdot 3^n+1

Passo 3

Simplificando um pouco, podemos tirar a constante 13 sumn=1^infty 2^nn cdot 3^n = 13 sumn=1^infty (2/3)^nn para fora da soma:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência dessa série. O Teste da Razão diz que, se an = (2/3)^nn :
  • Se an+1 = (2/3)^n+1n+1 , a série converge absolutamente.
  • Se | an+1an | = (2/3)^n+1n+1 cdot n(2/3)^n = 2/31 + 1n , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular o limite:

Passo 5

Calculando o limite quando limn to infty 2/31 + 1n = 23 vai para o infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Passo 6

Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. E quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente de forma condicional. Porém, aqui a convergência absoluta é a análise principal.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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