Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e usar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos considerar a série com os valores absolutos dos termos:
Passo 3
Simplificando um pouco, podemos tirar a constante 13 sumn=1^infty 2^nn cdot 3^n = 13 sumn=1^infty (2/3)^nn para fora da soma:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência dessa série. O Teste da Razão diz que, se an = (2/3)^nn :
Se an+1 = (2/3)^n+1n+1 , a série converge absolutamente.
Se | an+1an | = (2/3)^n+1n+1 cdot n(2/3)^n = 2/31 + 1n , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular o limite:
Passo 5
Calculando o limite quando limn to infty 2/31 + 1n = 23 vai para o infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.
Passo 6
Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. E quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente de forma condicional. Porém, aqui a convergência absoluta é a análise principal.