Resolva as equações: log_3(x+2) + log_(1/3)(x-6) = log_3(2x-5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que envolve logaritmos:
Aqui, estamos trabalhando com logaritmos, que fazem parte da matéria de Funções Logarítmicas. Para resolver essa equação, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos e manipular as expressões para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que tem o logaritmo de base . Sabemos que:
Então, podemos reescrever a equação assim:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Se os logaritmos de duas expressões são iguais, então as próprias expressões também são iguais (desde que estejam dentro do domínio dos logaritmos). Portanto:

Passo 5

Vamos resolver essa equação racional. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Agora, vamos expandir o lado direito:

Passo 7

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática igual a zero:

Passo 8

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 9

Agora, vamos resolver a equação quadrática. Procuramos dois números que multiplicados dão 14 e somados dão -9. Esses números são -7 e -2. Então, a equação fatorada fica:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 10

Precisamos verificar se essas soluções estão dentro do domínio original da equação, ou seja, se os argumentos dos logaritmos são positivos:
O valor que satisfaz todas essas condições é .

Resposta

A solução da equação é .

Exercícios relacionados