Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente usando o teste da raiz ou o teste da razão.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Os termos são não negativos para todo
(pois a razão dentro da potência é positiva). - O enunciado solicita uso do teste da raiz ou do teste da razão.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o teste da raiz porque o termo geral tem uma potência com expoente
(ou seja,
). O teste da raiz costuma simplificar muito esse tipo de série, porque permite “tirar” a potência
pela raiz
-ésima. O teste da razão poderia ser aplicado, mas daria contas mais complicadas; o teste da raiz é direto aqui.
Passo 3
Enunciado do teste da raiz (explicado passo a passo): seja uma série com termos
. Definimos
As conclusões são:
- se
, a série converge absolutamente; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
Aquisignifica a raiz -ésima do valor absoluto de ; como os são não negativos, .
Passo 4
Aplicando o teste da raiz ao termo
. Calculo a raiz
-ésima:
Explicação do passo: para
vale
, então a raiz
-ésima “simplifica” a potência
exatamente como feito acima.
Passo 5
Agora preciso do limite (ou
) de
quando
. Calculo
Para calcular limites de quocientes de polinômios, divido numerador e denominador por
:
Ao fazer
, os termos
tendem a
, então
Passo 6
Aplicando o teste da raiz: o valor encontrado é
Como
, o teste da raiz garante que a série
converge absolutamente. Observação didática: “converge absolutamente” significa que a série dos valores absolutos
converge; aqui os
são não negativos, então
converge e não existe convergência condicional (para séries com termos não negativos, convergência absoluta e convergência são a mesma coisa).
Passo 7
Resumo final do raciocínio (curto e útil para a prova): identifiquei a potência
no termo geral, apliquei o teste da raiz que reduziu a expressão à razão
, calculei seu limite
e concluí convergência absoluta por causa do teste da raiz.
Resposta
A série é absolutamente convergente.