Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente usando o teste da raiz ou o teste da razão.
\quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_{n}=\left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}.
  • Os termos são não negativos para todo n (pois a razão dentro da potência é positiva).
  • O enunciado solicita uso do teste da raiz ou do teste da razão.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o teste da raiz porque o termo geral tem uma potência com expoente n (ou seja, a_{n}=(\text{algo})^{n}). O teste da raiz costuma simplificar muito esse tipo de série, porque permite “tirar” a potência n pela raiz n-ésima. O teste da razão poderia ser aplicado, mas daria contas mais complicadas; o teste da raiz é direto aqui.

Passo 3

Enunciado do teste da raiz (explicado passo a passo): seja uma série com termos a_{n}. Definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}.
As conclusões são:
  • se L<1, a série \sum a_{n} converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui \sqrt[n]{|a_{n}|} significa a raiz n-ésima do valor absoluto de a_{n}; como os a_{n} são não negativos, |a_{n}|=a_{n}.

Passo 4

Aplicando o teste da raiz ao termo a_{n}=\left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}. Calculo a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}} = \frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}.
Explicação do passo: para x>0 vale \sqrt[n]{x^{n}}=x, então a raiz n-ésima “simplifica” a potência n exatamente como feito acima.

Passo 5

Agora preciso do limite (ou \limsup) de \sqrt[n]{a_{n}} quando n\to\infty. Calculo
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}.
Para calcular limites de quocientes de polinômios, divido numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1} = \frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}.
Ao fazer n\to\infty, os termos \dfrac{1}{n^{2}} tendem a 0, então
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Aplicando o teste da raiz: o valor encontrado é
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{2}.
Como L=\dfrac{1}{2}<1, o teste da raiz garante que a série \sum a_{n} converge absolutamente. Observação didática: “converge absolutamente” significa que a série dos valores absolutos \sum |a_{n}| converge; aqui os a_{n} são não negativos, então \sum a_{n} converge e não existe convergência condicional (para séries com termos não negativos, convergência absoluta e convergência são a mesma coisa).

Passo 7

Resumo final do raciocínio (curto e útil para a prova): identifiquei a potência n no termo geral, apliquei o teste da raiz que reduziu a expressão à razão \dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}, calculei seu limite \dfrac{1}{2}<1 e concluí convergência absoluta por causa do teste da raiz.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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