Teste a série quanto à convergência ou divergência utilizando o teste das séries alternadas. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}
Passo 1
O enunciado dá a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}
e pede para testar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar:
O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}.
Os sinais alternam porque há o fator (-1)^{n-1}.
A parte positiva dos termos (o módulo) é \displaystyle b_n=\frac{1}{n^{3}}.
Passo 2
Enunciado do teste (forma prática que vou aplicar): se tivermos uma série alternada da forma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n com b_n>0, então a série converge se duas condições forem verdadeiras:
b_n é monotonicamente decrescente (ou seja, b_{n+1}\le b_n para todo n suficientemente grande);
\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Explicando cada parte: b_n é o tamanho positivo dos termos (a parte sem o (-1)^{n-1}). A condição 1 garante que os termos vão decrescendo em módulo; a condição 2 é necessária porque, se os módulos não tendem a zero, a soma não pode estabilizar. Se as duas valem, a série alternada converge (resultado clássico conhecido como critério de Leibniz). Vou verificar essas duas condições para b_n=\displaystyle\frac{1}{n^{3}}.
Passo 3
Verificação de positividade: para todo n\ge1,
b_n=\frac{1}{n^{3}}>0,
ou seja, a parte positiva dos termos é realmente positiva.
Passo 4
Verificação de que b_n é decrescente: comparo b_{n+1} e b_n:
Essa é uma série do tipo p-série com p=3. Conhecimento padrão: uma p-série \sum 1/n^{p} converge se, e somente se, p>1. Como 3>1, temos que \sum 1/n^{3} converge. Portanto a série original converge absolutamente. Lembrando: se uma série converge absolutamente, ela também converge (absoluta ⇒ convergência normal).
Comentário rápido para fixar: contrastando com \sum (-1)^{n-1}/n (série harmônica alternada), que converge pelo teste alternado mas não converge absolutamente (porque \sum 1/n diverge), aqui com p=3 temos convergência absoluta — isto é ainda melhor.