Teste a série quanto à convergência ou divergência utilizando o teste das séries alternadas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}
e pede para testar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}.
  • Os sinais alternam porque há o fator (-1)^{n-1}.
  • A parte positiva dos termos (o módulo) é \displaystyle b_n=\frac{1}{n^{3}}.

Passo 2

Enunciado do teste (forma prática que vou aplicar): se tivermos uma série alternada da forma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n com b_n>0, então a série converge se duas condições forem verdadeiras:
  1. b_n é monotonicamente decrescente (ou seja, b_{n+1}\le b_n para todo n suficientemente grande);
  2. \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
    Explicando cada parte: b_n é o tamanho positivo dos termos (a parte sem o (-1)^{n-1}). A condição 1 garante que os termos vão decrescendo em módulo; a condição 2 é necessária porque, se os módulos não tendem a zero, a soma não pode estabilizar. Se as duas valem, a série alternada converge (resultado clássico conhecido como critério de Leibniz). Vou verificar essas duas condições para b_n=\displaystyle\frac{1}{n^{3}}.

Passo 3

Verificação de positividade: para todo n\ge1,
b_n=\frac{1}{n^{3}}>0,
ou seja, a parte positiva dos termos é realmente positiva.

Passo 4

Verificação de que b_n é decrescente: comparo b_{n+1} e b_n:
b_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{3}},\qquad b_n=\frac{1}{n^{3}}.
Como (n+1)^{3}>n^{3} para todo n\ge1, ao tomar recíprocos obtemos
\frac{1}{(n+1)^{3}}<\frac{1}{n^{3}},
ou seja,
b_{n+1}<b_n.
Portanto b_n é estritamente decrescente (logo monotonicamente decrescente), condição 1 satisfeita.

Passo 5

Verificação do limite nulo: sabemos que n^{3}\to\infty quando n\to\infty. Assim o recíproco tende a zero:
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}}=0.
Isso satisfaz a condição 2 do critério.

Passo 6

Conclusão pelo teste das séries alternadas: como b_n>0, b_n é decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0, pelo critério de Leibniz a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}
converge. Uma informação útil de prova: o resto ao truncar após N termos satisfaz a estimativa
|R_N|=\left|\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}\right|\le b_{N+1}=\frac{1}{(N+1)^{3}},
ou seja, o erro ao usar a soma parcial S_N não excede \displaystyle\frac{1}{(N+1)^{3}}.

Passo 7

Verificação de convergência absoluta (passo extra importante para a prova): a soma dos módulos é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}.
Essa é uma série do tipo p-série com p=3. Conhecimento padrão: uma p-série \sum 1/n^{p} converge se, e somente se, p>1. Como 3>1, temos que \sum 1/n^{3} converge. Portanto a série original converge absolutamente. Lembrando: se uma série converge absolutamente, ela também converge (absoluta ⇒ convergência normal).
Comentário rápido para fixar: contrastando com \sum (-1)^{n-1}/n (série harmônica alternada), que converge pelo teste alternado mas não converge absolutamente (porque \sum 1/n diverge), aqui com p=3 temos convergência absoluta — isto é ainda melhor.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}} converge absolutamente (logo converge).

Exercícios relacionados