Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente usando o teste da raiz ou o teste da razão.
\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2^{n}}{n^{4}}

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{2^{n}}{n^{4}}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, usando o teste da raiz ou o teste da razão. As informações relevantes são:
  • O termo geral é a_n = (-1)^{n-1}\dfrac{2^{n}}{n^{4}}.
  • A série dos valores absolutos é |a_n| = \dfrac{2^{n}}{n^{4}}.
  • Devemos aplicar o teste da raiz ou da razão para avaliar a convergência absoluta e, em seguida, decidir sobre a convergência da série original.

Passo 2

Vou usar o teste da raiz para avaliar a convergência absoluta, porque é bem direto com potências 2^{n}. O teste da raiz diz: para uma série de termos não negativos b_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{b_n}.
Se L<1, a série \sum b_n converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo. Aqui tomamos b_n=|a_n|=\dfrac{2^{n}}{n^{4}}. Então consideramos
\sqrt[n]{b_n}=\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{n^{4}}}=\frac{2}{n^{4/n}}.

Passo 3

Precisamos calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{4/n}}.
Para avaliar n^{4/n} note que n^{4/n}=(n^{1/n})^{4}. É um resultado padrão (e fácil de ver tomando logaritmo) que
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1.
Explicação rápida: escreva \ln(n^{1/n})=\dfrac{\ln n}{n} e observe que \dfrac{\ln n}{n}\to 0 quando n\to\infty, logo \ln(n^{1/n})\to 0 e n^{1/n}\to e^{0}=1. Portanto
\lim_{n\to\infty} n^{4/n}=(\lim_{n\to\infty} n^{1/n})^{4}=1^{4}=1.
Assim
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{4/n}}=\frac{2}{1}=2.

Passo 4

Como pelo teste da raiz encontramos L=2>1, a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n-1}\frac{2^{n}}{n^{4}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{4}}
diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente.

Passo 5

Para verificar se a série é condicionalmente convergente (isto é, converge mas não absolutamente), precisamos ver se a série original converge apesar da divergência absoluta. Um teste necessário para qualquer série convergente é que o termo geral tenda a zero:
\lim_{n\to\infty} a_n \stackrel{?}{=} 0.
Aqui |a_n|=\dfrac{2^{n}}{n^{4}}. Podemos mostrar que |a_n|\to\infty, portanto a_n não tende a zero. Uma forma clara de ver isso é tomar logaritmo:
\ln\left(\frac{2^{n}}{n^{4}}\right)=n\ln 2 - 4\ln n.
Como n\ln 2 cresce linearmente em n e 4\ln n cresce muito mais devagar, a diferença n\ln 2 - 4\ln n\to\infty. Logo \ln\left(\dfrac{2^{n}}{n^{4}}\right)\to\infty e portanto \dfrac{2^{n}}{n^{4}}\to\infty. Em particular |a_n|\not\to 0, então a_n\not\to 0. Pelo teste do termo geral, se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.

Passo 6

Conclusão final: a série não é absolutamente convergente (teste da raiz deu L=2>1) e também não é condicionalmente convergente porque o termo geral não tende a zero. Portanto a série diverge.

Resposta

Divergente

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