Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente covergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

Enunciado e dados importantes. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{n!}.
O que o exercício pede: determinar se a série é (i) absolutamente convergente, (ii) condicionalmente convergente ou (iii) divergente. Informações relevantes que temos do enunciado:
  • o termo geral é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!};
  • a parte positiva (módulo) do termo é |a_n|=\dfrac{2^{n}}{n!};
  • a série é alternada devido ao fator (-1)^{n+1}.

Passo 2

Definições úteis (explicadas com calma).
  • Uma série \sum a_n é chamada absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge. Isso é forte: se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, dizemos que a convergência é condicional.
    Vou aplicar essas definições ao nosso caso, começando por estudar \sum |a_n|.

Passo 3

Analisar a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!}.
Uma maneira direta é usar o Teste da Razão (ratio test), que funciona muito bem quando há fatorial. O teste da razão diz: para termos positivos b_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
Se L<1 então \sum b_n converge; se L>1 diverge; se L=1 é inconclusivo. Aqui tomamos b_n=|a_n|=\dfrac{2^{n}}{n!}.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão aos b_n. Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^{n}}{n!}} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}} = \frac{2}{n+1}.
Agora o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0.
Como L=0<1, pelo Teste da Razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge.

Passo 5

Interpretação do resultado e conexão com a definição. Encontramos que a série dos módulos \sum |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge. Pela definição de convergência absoluta, isso significa que a série original \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!} é absolutamente convergente. (Observação extra, útil para compreensão: de fato \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!}=e^{2}, então \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1, um número finito — mais uma razão para a convergência absoluta.)

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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