Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente covergente ou divergente.
Passo 1
Enunciado e dados importantes. A série dada é
O que o exercício pede: determinar se a série é (i) absolutamente convergente, (ii) condicionalmente convergente ou (iii) divergente. Informações relevantes que temos do enunciado:
- o termo geral é
; - a parte positiva (módulo) do termo é
; - a série é alternada devido ao fator
.
Passo 2
Definições úteis (explicadas com calma).
- Uma série
é chamada absolutamente convergente se a série dos módulos converge. Isso é forte: se converge então também converge. - Se
converge mas diverge, dizemos que a convergência é condicional.
Vou aplicar essas definições ao nosso caso, começando por estudar.
Passo 3
Analisar a série dos módulos
.
Uma maneira direta é usar o Teste da Razão (ratio test), que funciona muito bem quando há fatorial. O teste da razão diz: para termos positivos , calcule
Uma maneira direta é usar o Teste da Razão (ratio test), que funciona muito bem quando há fatorial. O teste da razão diz: para termos positivos
Se
então
converge; se
diverge; se
é inconclusivo. Aqui tomamos
.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão aos
. Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Agora o limite quando
:
Como
, pelo Teste da Razão a série
converge.
Passo 5
Interpretação do resultado e conexão com a definição. Encontramos que a série dos módulos
converge. Pela definição de convergência absoluta, isso significa que a série original
é absolutamente convergente. (Observação extra, útil para compreensão: de fato
, então
, um número finito — mais uma razão para a convergência absoluta.)
Resposta
A série é absolutamente convergente.