O termo geral da série é (-1)^{n+1}\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right).
Os valores de \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right) são não negativos para n\ge1 (por exemplo \operatorname{sen}\!\left(\pi\right)=0, e para n\ge2 temos \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right)>0).
A série é alternada por causa do fator (-1)^{n+1}.
A pergunta é: a série converge? e, se converge, converge absolutamente ou apenas condicionalmente?
Passo 2
Vou estudar o comportamento dos módulos dos termos, isto é b_n=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right). Primeiro quero mostrar que \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Explicação do conceito usado: se queremos saber se uma sequência b_n tende a zero, podemos usar limites conhecidos e substituições. Aqui \frac{\pi}{n}\to0 quando n\to\infty. Existe um limite clássico da trigonometria que diz
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
Aplicando com x=\frac{\pi}{n} (que vai para 0 quando n\to\infty), temos
Portanto b_n\to0. Isso é uma das condições importantes quando lidamos com séries alternadas.
Passo 3
Agora preciso verificar se a sequência b_n=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right) é, pelo menos a partir de algum índice, monótona decrescente (não crescente). Isso é necessário para aplicar o teste da série alternada padrão.
Raciocínio e justificativa: para n\ge2 temos
0<\frac{\pi}{n+1}<\frac{\pi}{n}\le\frac{\pi}{2},
ou seja, os argumentos \frac{\pi}{n} ficam todos no intervalo (0,\frac{\pi}{2}] quando n\ge2. Na faixa (0,\frac{\pi}{2}] a função \operatorname{sen}x é estritamente crescente. Logo, diminuindo o argumento (passando de \frac{\pi}{n} para \frac{\pi}{n+1}) obtém-se um valor menor de seno. Portanto, para todo n\ge2 vale
Logo b_n é decrescente para n\ge2. (Observação: b_1=\operatorname{sen}\!\pi=0 é uma exceção isolada, mas isso não atrapalha: o teste usa monotonia a partir de algum índice.)
Passo 4
Aplico o teste da série alternada (teste de Leibniz). Enunciado do teste (explicado): se temos uma série alternada da forma \sum (-1)^{n} b_n com b_n\ge0, e se
b_n é monotonicamente decrescente a partir de algum N, e
\lim_{n\to\infty} b_n = 0,
então a série alternada converge.
No nosso caso, tomando b_n=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right), já mostramos em Passo 2 que b_n\to0 e em Passo 3 que b_n é decrescente para n\ge2. Portanto a série
também converge. Dica de prova útil para a prova/avaliação: sempre que tiver uma exceção no primeiro termo, você pode retirar finitamente muitos termos iniciais e aplicar o teste ao restante; isso não altera a convergência.
Passo 5
Agora verifico se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Para isso analiso a série dos módulos:
Como esse limite é um número finito positivo (\pi>0), a série \sum \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right) tem o mesmo comportamento de convergência que a série \sum \frac{1}{n} (teste da comparação limite). E sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge. Portanto a série \sum \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right) também diverge. Conclusão: a série não converge absolutamente.
Passo 6
Resumo final e conclusão didática: a série alternada converge por Leibniz (condições verificadas: b_n\to0 e b_n decrescente a partir de n=2), mas a série dos módulos diverge por comparação com a harmônica (porque \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\sim \frac{\pi}{n}). Portanto a convergência é condicional — ela converge, mas não absolutamente. Força aí na prova: na hora mostre os dois passos (teste alternado + teste de comparação/limite para módulos) e fecha bonito.