Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente covergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique a série quanto à convergência: se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série dada é
Informações importantes que o enunciado dá:
- O termo geral é
. - A soma é sobre
até o infinito. - Precisamos decidir entre as três possibilidades: absoluta, condicional ou divergente.
Passo 2
Vou explicar o que significa cada tipo de convergência (de forma direta e útil para a prova):
- A série
é absolutamente convergente quando a série dos módulos converge. - Se
converge, mas diverga, dizemos que a convergência é condicional. - Se
não converge, a série é divergente.
Um fato muito útil (que você pode usar na prova): seconverge, então também converge (ou seja, absoluta implica convergência).
Passo 3
Vamos estudar
. Primeiro observação simples sobre seno: para todo
vale
. Então
Como
, segue
Portanto, para todo
,
Passo 4
Dividindo a desigualdade anterior por
(positivo), obtemos
Isso é útil porque
e conhecemos a convergência das séries p: a série
converge se, e somente se,
. Aqui
, logo
converge; assim
também converge (é apenas um fator constante a mais).
Passo 5
Aplicando o teste da comparação: como
para todo
e
converge, então pela comparação
converge também.
Passo 6
Tendo mostrado que
converge, concluímos (pelo fato explicado no Passo 2) que a série original converge absolutamente. Como lembrete rápido, outra abordagem possível seria separar a série em
e notar que cada uma dessas séries é absolutamente convergente (pois
), chegando à mesma conclusão.
Resposta
Absolutamente convergente.