Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente covergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-2 \operatorname{sen} n}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique a série quanto à convergência: se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-2\sin n}{n^{3}}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1-2\sin n}{n^{3}}.
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots até o infinito.
  • Precisamos decidir entre as três possibilidades: absoluta, condicional ou divergente.

Passo 2

Vou explicar o que significa cada tipo de convergência (de forma direta e útil para a prova):
  • A série \sum a_n é absolutamente convergente quando a série dos módulos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverga, dizemos que a convergência é condicional.
  • Se \sum a_n não converge, a série é divergente.
    Um fato muito útil (que você pode usar na prova): se \sum |a_n| converge, então \sum a_n também converge (ou seja, absoluta implica convergência).

Passo 3

Vamos estudar |a_n|. Primeiro observação simples sobre seno: para todo n vale |\sin n|\le 1. Então
|1-2\sin n|\le 1 + 2|\sin n|.
Como |\sin n|\le 1, segue
1 + 2|\sin n| \le 1 + 2\cdot 1 = 3.
Portanto, para todo n,
|1-2\sin n|\le 3.

Passo 4

Dividindo a desigualdade anterior por n^{3}\ge 1 (positivo), obtemos
\frac{|1-2\sin n|}{n^{3}} \le \frac{3}{n^{3}}.
Isso é útil porque \dfrac{3}{n^{3}} = 3\cdot \dfrac{1}{n^{3}} e conhecemos a convergência das séries p: a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=3>1, logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge; assim \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3}{n^{3}} também converge (é apenas um fator constante a mais).

Passo 5

Aplicando o teste da comparação: como 0\le \dfrac{|1-2\sin n|}{n^{3}} \le \dfrac{3}{n^{3}} para todo n e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3}{n^{3}} converge, então pela comparação \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{|1-2\sin n|}{n^{3}} converge também.

Passo 6

Tendo mostrado que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{|1-2\sin n|}{n^{3}} converge, concluímos (pelo fato explicado no Passo 2) que a série original converge absolutamente. Como lembrete rápido, outra abordagem possível seria separar a série em
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} - 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{3}}
e notar que cada uma dessas séries é absolutamente convergente (pois |\sin n|/n^{3}\le 1/n^{3}), chegando à mesma conclusão.

Resposta

Absolutamente convergente.

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