Esboce o gráfico de:
f(x)=2 x^3-9 x^2+27

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função cúbica f(x)=2x³−9x²+27. Vamos usar cálculo diferencial: derivada para achar extremos e segunda derivada para inflexão e concavidade.

Passo 2

Começamos identificando interceptos. Para f(x)=0, fazemos fatoração:
Vamos fatorar f(x) em bloco:
f(x)=2x^3-9x^2+27=(x-3)^2(2x+3)

Passo 3

Isso mostra raízes em x=3 (multiplicidade 2) e x=-3/2 (multiplicidade 1). O intercepto y ocorre em f(0)=27.

Passo 4

Derivamos para encontrar pontos críticos. A derivada é
f'(x)=6x^2-18x=6x(x-3)

Passo 5

Logo, f’(x)=0 em x=0 e x=3. Avaliamos f nesses pontos: f(0)=27 e f(3)=0.

Passo 6

Analisamos o sinal de f’(x):
  • Para x<0: x<0 e x−3<0 ⇒ f’(x)>0 (função crescente).
  • Entre 0 e 3: x>0 e x−3<0 ⇒ f’(x)<0 (função decrescente).
  • Para x>3: x>0 e x−3>0 ⇒ f’(x)>0 (função crescente).

Passo 7

Isso indica máximo local em (0,27) e mínimo local em (3,0), além do comportamento de crescimento e decrescimento.

Passo 8

Agora a concavidade e ponto de inflexão vêm da segunda derivada:
f''(x)=12x-18

Passo 9

Igualando a zero, 12x-18=0 ⇒ x=3/2. Em x=3/2, f(3/2)=13.5. Para x<3/2, f’’<0 (côncava para baixo); para x>3/2, f’’>0 (côncava para cima).

Passo 10

Com todas essas informações, montamos o esboço:
  • Vindo de x→−∞, f→−∞, a curva sobe, atravessa o eixo x em x=−3/2, chega ao máximo (0,27).
  • Desce até quase tocar o eixo em (3,0) formando um mínimo e retorna a subir para f→+∞.
  • Há inflexão em (1.5,13.5) onde muda de côncavo para convexa.

Resposta

O gráfico é uma cúbica com: interceptos em (–1.5,0) e toque em (3,0); máximo local em (0,27); mínimo local em (3,0); inflexão em (1.5,13.5); cresce em (–∞,0), decresce em (0,3) e cresce em (3,∞); côncava para baixo até x=1.5 e para cima depois.

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