1-2. Faça uma conjectura sobre a convergência ou a divergência da série e confirme-a usando o teste da comparação.
  1. b) sumk=1^+infty 3k-14

Passo 1

A série em estudo é a série numérica positiva sumk=1^infty 3k-tfrac14. O conteúdo da matéria envolve séries numéricas e o teste da comparação para determinar convergência ou divergência. Para resolver, vamos comparar com a série harmônica, cujo comportamento é bem conhecido.

Passo 2

Observamos que, para todo k>=1, vale a desigualdade
k - tfrac14 < k
Isso implica
1k - tfrac14 > 1k
e, multiplicando ambos os lados por 3 (número positivo), temos
3k - tfrac14 > 3k

Passo 3

Sabemos que a série harmônica múltipla sumk=1^infty 3k = 3 sumk=1^infty 1k diverge. Pelo teste da comparação direta, se ak >= bk>0 para todo k e sum bk diverge, então sum ak também diverge. Aqui, ak=3/(k-1/4) e bk=3/k, logo a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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