3-6. Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
5.
5.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada
converge. O conteúdo principal é o Critério de Leibniz para séries alternadas, e podemos complementar com análise de convergência absoluta.
Passo 2
Definimos
, que é positivo para todo
. Para mostrar que
é decrescente, note que é decrescente.
Passo 3
Calculamos
. Esse limite nulo é uma das hipóteses do Critério de Leibniz.
Passo 4
Pelo Critério de Leibniz, como
é positiva, decrescente e
, a série alternada
converge. Logo
converge.
Passo 5
Complementarmente, observamos que
é uma série geométrica de razão
, portanto converge. Isso implica que a série original converge absolutamente, reforçando sua convergência.
Resposta
A série converge (e, na verdade, converge absolutamente).