3-6. Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
5. sumk=1^+infty(-1)^k+1 e^-k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1e^-k converge. O conteúdo principal é o Critério de Leibniz para séries alternadas, e podemos complementar com análise de convergência absoluta.

Passo 2

Definimos ak = e^-k, que é positivo para todo k. Para mostrar que (ak) é decrescente, note que é decrescente.

Passo 3

Calculamos limktoinfty ak = limktoinfty e^-k = 0. Esse limite nulo é uma das hipóteses do Critério de Leibniz.

Passo 4

Pelo Critério de Leibniz, como (ak) é positiva, decrescente e lim ak=0, a série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1ak converge. Logo sumk=1^infty(-1)^k+1e^-k converge.

Passo 5

Complementarmente, observamos que sumk=1^inftye^-k é uma série geométrica de razão e^-1<1, portanto converge. Isso implica que a série original converge absolutamente, reforçando sua convergência.

Resposta

A série converge (e, na verdade, converge absolutamente).

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