integral(sen^2 t cos t) e^sen t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral integral (sin^2 t cos t) e^sin t , dt. Aqui, estamos lidando com uma função trigonométrica multiplicada por uma função exponencial. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que facilita a integração ao transformar a expressão original em termos de uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável u. Observando a integral, notamos que temos e^sin t e uma expressão que envolve sin t. Vamos escolher:
u = sin t
Então, precisamos calcular a derivada de u em relação a t:
dudt = cos t
Isso significa que:
du = cos t , dt

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de u. Na integral original, temos sin^2 t cos t , e^sin t , dt. Usando u = sin t e du = cos t , dt, podemos expressar cos t , dt como du. Portanto, a integral fica:
integral sin^2 t , e^sin t cos t , dt = integral u^2 e^u , du

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral u^2 e^u , du. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • v = e^u (pois sua derivada é simples)
  • dw = u^2 , du
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
  • dv = e^u , du
  • w = u^33
Agora, aplicamos a fórmula:
integral u^2 e^u , du = u^33 e^u - integral u^33 e^u , du
Esse processo pode ser repetido até simplificar a expressão integral.

Passo 5

Continuando com a integração por partes, vamos simplificar a expressão. Após aplicar a técnica, eventualmente chegamos a uma expressão que pode ser integrada diretamente. O resultado final da integral integral u^2 e^u , du é:
e^u (u^2 - 2u + 2) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original t. Lembrando que u = sin t, substituímos u de volta na expressão:
e^sin t (sin^2 t - 2 sin t + 2) + C

Resposta

A integral integral (sin^2 t cos t) e^sin t , dt é igual a:
e^sin t (sin^2 t - 2 sin t + 2) + C
onde C é a constante de integração.

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