Passo 1
Vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma função trigonométrica multiplicada por uma função exponencial. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que facilita a integração ao transformar a expressão original em termos de uma nova variável.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável
. Observando a integral, notamos que temos
e uma expressão que envolve
. Vamos escolher:
Então, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
. Na integral original, temos
. Usando
e
, podemos expressar
como
. Portanto, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
-
(pois sua derivada é simples) -
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Agora, aplicamos a fórmula:
Esse processo pode ser repetido até simplificar a expressão integral.
Passo 5
Continuando com a integração por partes, vamos simplificar a expressão. Após aplicar a técnica, eventualmente chegamos a uma expressão que pode ser integrada diretamente. O resultado final da integral
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que
, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.