3-6. Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
3. sumk=1^+infty(-1)^k+1 k+13 k+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1k+13k+1. O conteúdo principal aqui é o teste da série alternada (teste de Leibniz), que exige verificar se os termos positivos ak=k+13k+1 formam uma sequência decrescente e se akto0.

Passo 2

Calculamos o limite dos termos gerais para ver se eles tendem a zero. limktoinftyk+13k+1=13neq0
Como o termo geral não tende a zero, a condição necessária para convergência falha. Pelo teste da divergência (ou contraponto ao teste de Leibniz), a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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