Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral
. Esse é um exercício de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas e potências. Para resolver, vamos precisar usar substituição e algumas identidades trigonométricas. Bora passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos
. Isso pode ser reescrito como
. Mas trabalhar diretamente com potências ímpares pode complicar. Então, vamos usar uma identidade trigonométrica para facilitar.
Passo 3
Vamos lembrar da identidade
. Isso significa que
. Vamos substituir isso na nossa integral:
Passo 4
Agora, temos que resolver a integral
. Para isso, vamos usar uma técnica de substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos reescrever a integral em termos de
. Primeiro, observamos que
. Podemos escrever
como
. E sabemos que
. Então, a integral fica:
Substituindo
por
, temos:
Passo 6
Agora, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver cada parte:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, vamos substituir
de volta:
Passo 9
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A integral
é igual a: