integral(cos x sen x)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral integral(cos x cdot sin x)^5 dx. Esse é um exercício de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas e potências. Para resolver, vamos precisar usar substituição e algumas identidades trigonométricas. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos (cos x cdot sin x)^5. Isso pode ser reescrito como cos^5x cdot sin^5x. Mas trabalhar diretamente com potências ímpares pode complicar. Então, vamos usar uma identidade trigonométrica para facilitar.

Passo 3

Vamos lembrar da identidade sin(2x) = 2 sin x cos x. Isso significa que sin x cos x = sin(2x)2. Vamos substituir isso na nossa integral:
integral(cos x cdot sin x)^5 dx = integral(sin(2x)2)^5 dx = 132 integral sin^5(2x) dx

Passo 4

Agora, temos que resolver a integral integral sin^5(2x) dx. Para isso, vamos usar uma técnica de substituição. Vamos deixar u = cos(2x). Então, a derivada de u em relação a x é:
du/dx = -2 sin(2x)
Isso significa que du = -2 sin(2x) dx, ou seja, -12 du = sin(2x) dx.

Passo 5

Vamos reescrever a integral em termos de u. Primeiro, observamos que sin^5(2x) = sin^4(2x) cdot sin(2x). Podemos escrever sin^4(2x) como (sin^2(2x))^2. E sabemos que sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x) = 1 - u^2. Então, a integral fica:
132 integral sin^5(2x) dx = 132 integral (1 - u^2)^2 cdot sin(2x) dx
Substituindo sin(2x) dx por - 12 du, temos:
132 cdot (-12) integral (1 - u^2)^2 du = -164 integral (1 - u^2)^2 du

Passo 6

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Então, a integral fica:
-164 integral (1 - 2u^2 + u^4) du = -164 ( integral 1 du - 2 integral u^2 du + integral u^4 du )

Passo 7

Vamos resolver cada parte:
integral 1 du = u
integral u^2 du = u^33
integral u^4 du = u^55
Substituindo de volta:
-164 ( u - 2 cdot u^33 + u^55 ) + C

Passo 8

Agora, vamos substituir u = cos(2x) de volta:
-164 ( cos(2x) - 23 cos^3(2x) + 15 cos^5(2x) ) + C

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
-164 cos(2x) + 196 cos^3(2x) - 1320 cos^5(2x) + C

Resposta

A integral integral(cos x cdot sin x)^5 dx é igual a:
-164 cos(2x) + 196 cos^3(2x) - 1320 cos^5(2x) + C

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