integral x^2+1x^3+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de x^2+1x^3+x em relação a x. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações algébricas. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e aplicar algumas regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: x^3 + x. Podemos fatorar esse polinômio para simplificar a expressão. Perceba que há um fator comum de x:
x^3 + x = x(x^2 + 1)
Então, a integral fica:
integral x^2 + 1x^3 + x , dx = integral x^2 + 1x(x^2 + 1) , dx

Passo 3

Agora, observe que o numerador x^2 + 1 é igual ao fator x^2 + 1 no denominador. Isso significa que podemos simplificar a fração dividindo ambos os lados pelo mesmo termo:
x^2 + 1x(x^2 + 1) = 1x
Então, nossa integral simplificada é:
integral 1x , dx

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma regra básica de integração: a integral de 1x em relação a x é o logaritmo natural de x, mais uma constante de integração C. Ou seja,
integral 1x , dx = ln|x| + C

Resposta

O valor da integral é ln|x| + C.

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