3-6. Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
4. sumk=1^+infty(-1)^k+1 k+1raizk+1

Passo 1

Temos a série alternada sumk=1^+infty(-1)^k+1k+1raizk+1. O conteúdo é teste de convergência para séries alternadas e vamos precisar checar a condição necessária de convergência (limite dos termos deve ser zero).

Passo 2

Seja ak=k+1raizk+1. Calculamos o limite de ak:
limktoinftyk+1raizk+1 = limktoinftykl(1+1/kr)raizkl(1+1/raizkr) = limktoinftyraizk,1+1/k1+1/raizk = +infty

Passo 3

Como limktoinftyakneq0, a condição necessária para convergência de qualquer série (alternada ou não) falha.
Pelo teste da divergência, se os termos gerais não tendem a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge pois seus termos não tendem a zero.

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