1. sumk=1^+infty 5^3 k 7^1-k

Passo 1

Vamos resolver a série infinita sumk=1^+infty 5^3k cdot 7^1-k. Vamos usar o conteúdo de progressões geométricas para encontrar a soma dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série. Observe que podemos reescrever 5^3k cdot 7^1-k da seguinte forma:
5^3k cdot 7^1-k = 5^3k cdot 77^k = 7 cdot (5^37)^k
Isso transforma cada termo da série em 7 cdot (1257)^k.

Passo 3

Agora, a série fica:
sumk=1^+infty 7 cdot (1257)^k
Podemos fatorar o 7 para fora da soma:
7 cdot sumk=1^+infty (1257)^k
Essa é uma série geométrica da forma sumk=1^+infty r^k, onde r = 1257.

Passo 4

Para uma série geométrica infinita sumk=1^+infty r^k convergir, é necessário que o valor absoluto da razão |r| seja menor que 1. Vamos verificar:
r = 1257 approx 17,86
Como 17,86 > 1, o valor absoluto de r é maior que 1.

Resposta

A série diverge e não possui soma finita.

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