Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série alternada
é convergente ou divergente. Aqui reconhecemos o formato de uma série alternada do tipo
com
. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Verificamos que
para todo
e que a sequência
é monótona decrescente. De fato, para
:
Passo 3
Checamos também que
Passo 4
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz a série alternada converge. Entretanto, se considerarmos a série de termos absolutos
, ela diverge (por comparação com a série harmônica). Logo a convergência é condicional.
Resposta
A série é convergente (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.