Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
\frac{2}{3}-\frac{2}{5}+\frac{2}{7}-\frac{2}{9}+\ldots;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série alternada
\frac{2}{3} - \frac{2}{5} + \frac{2}{7} - \frac{2}{9} + \cdots
é convergente ou divergente. Aqui reconhecemos o formato de uma série alternada do tipo
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{\,n-1} b_n,
com b_n = \tfrac{2}{2n+1}. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Verificamos que b_n>0 para todo n e que a sequência \{b_n\} é monótona decrescente. De fato, para n\ge1:
b_{n+1} = \frac{2}{2(n+1)+1} = \frac{2}{2n+3} \;<\;\frac{2}{2n+1} = b_n.

Passo 3

Checamos também que
\lim_{n\to\infty} b_n \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{2}{2n+1} \;=\;0.

Passo 4

Como \{b_n\} é positiva, decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz a série alternada converge. Entretanto, se considerarmos a série de termos absolutos \sum b_n = \sum \tfrac{2}{2n+1}, ela diverge (por comparação com a série harmônica). Logo a convergência é condicional.

Resposta

A série é convergente (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.

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