Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)}{1+\sqrt{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\pi n\bigr)}{1+\sqrt{n}}
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é o teste de convergência para séries alternadas (critérios de Leibniz) e, em seguida, checar convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o numerador. Sabemos que
\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + \pi n\Bigr) = (-1)^n,
pois \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}+k\pi)=(-1)^k. Logo o termo geral da série fica
u_n = \frac{(-1)^n}{1+\sqrt{n}}.

Passo 3

Definimos a_n = \tfrac{1}{1+\sqrt{n}}. Note que para todo n\ge1 temos a_n>0,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}} = 0,
e a_n é monotonicamente decrescente porque, à medida que n cresce, \sqrt{n} cresce e o denominador aumenta.

Passo 4

Pelas condições do critério de Leibniz (série alternada com a_n\searrow0), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n
converge.

Passo 5

Para checar convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty} \bigl|u_n\bigr| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\sqrt{n}}.
Como \tfrac{1}{1+\sqrt{n}} é comparável a \tfrac{1}{\sqrt{n}} para n grande e \sum 1/\sqrt{n} diverge (p-série com p=\tfrac12\le1), temos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\sqrt{n}} \;\text{diverge}.

Resposta

A série é convergente, mas não absolutamente; isto é, é convergente condicionalmente.

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