Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
\left\{\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \left\{\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n}\right\} converge ou diverge quando n\to\infty.
Informações dadas: a sequência é formada pelos termos \left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n} com n inteiro positivo e a variável que tende a infinito é n.
O que precisa ser respondido: a sequência converge? Se sim, encontrar o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n}.

Passo 2

Uma técnica muito útil para sequências do tipo \left(1+\text{algo pequeno}\right)^{\text{algo grande}} é estudar o logaritmo dos termos. Vou definir o termo geral como
a_n=\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n}.
Vou analisar \ln(a_n). Explicar por que isso ajuda: a função exponencial \exp(x) é contínua, então se \ln(a_n) tiver limite L quando n\to\infty, então a_n=\exp(\ln(a_n)) terá limite \exp(L). Ou seja, encontrar \lim \ln(a_n) nos dá \lim a_n imediatamente.

Passo 3

Calculemos o logaritmo do termo geral:
\ln(a_n)=\ln\!\left(\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1+\frac{1}{3 n}\right).
Aqui usei a propriedade do logaritmo que diz \ln(x^n)=n\ln(x). Vou estudar o limite de n\ln\!\left(1+\frac{1}{3 n}\right) quando n\to\infty.

Passo 4

Para avaliar \displaystyle\lim_{n\to\infty}n\ln\!\left(1+\frac{1}{3 n}\right) é conveniente fazer uma mudança de variável que mostre um termo que vai a zero. Defina
t=\frac{1}{3n}.
Quando n\to\infty temos t\to 0^+. Em termos de t,
n=\frac{1}{3t} \quad\text{e}\quad n\ln\!\left(1+\frac{1}{3 n}\right)=\frac{1}{3t}\ln(1+t)=\frac{1}{3}\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 5

Agora usamos o limite conhecido
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Breve justificativa desse limite: podemos aplicar a regra de l’Hôpital à \frac{\ln(1+t)}{t} quando t\to 0 porque numerador e denominador vão a 0. As derivadas são \frac{d}{dt}\ln(1+t)=\frac{1}{1+t} e \frac{d}{dt}t=1; avaliando em t\to 0 obtemos \frac{1}{1+0}=1. Portanto o limite vale 1.

Passo 6

Usando o resultado do passo anterior, temos
\lim_{n\to\infty} \ln(a_n) = \lim_{t\to 0}\frac{1}{3}\cdot\frac{\ln(1+t)}{t} = \frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.
Como \ln(a_n)\to \tfrac{1}{3} e a exponencial é contínua, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\exp(\ln(a_n))=\exp\!\left(\tfrac{1}{3}\right).

Passo 7

Comentário final e incentivo: portanto a sequência converge e o limite é \displaystyle e^{1/3}. Se quiser, você pode lembrar do exemplo clássico \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e; aqui temos uma versão com fator \tfrac{1}{3} no pequeno incremento, o que leva a e^{1/3}. Vai dar tudo certo na prova — você já entendeu a ideia principal!

Resposta

e^{1/3}

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