Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge quando
.
Informações dadas: a sequência é formada pelos termos com
inteiro positivo e a variável que tende a infinito é
.
O que precisa ser respondido: a sequência converge? Se sim, encontrar o limite .
Informações dadas: a sequência é formada pelos termos
O que precisa ser respondido: a sequência converge? Se sim, encontrar o limite
Passo 2
Uma técnica muito útil para sequências do tipo
é estudar o logaritmo dos termos. Vou definir o termo geral como
Vou analisar
. Explicar por que isso ajuda: a função exponencial
é contínua, então se
tiver limite
quando
, então
terá limite
. Ou seja, encontrar
nos dá
imediatamente.
Passo 3
Calculemos o logaritmo do termo geral:
Aqui usei a propriedade do logaritmo que diz
. Vou estudar o limite de
quando
.
Passo 4
Para avaliar
é conveniente fazer uma mudança de variável que mostre um termo que vai a zero. Defina
Quando
temos
. Em termos de
,
Passo 5
Agora usamos o limite conhecido
Breve justificativa desse limite: podemos aplicar a regra de l’Hôpital à
quando
porque numerador e denominador vão a
. As derivadas são
e
; avaliando em
obtemos
. Portanto o limite vale
.
Passo 6
Usando o resultado do passo anterior, temos
Como
e a exponencial é contínua, segue que
Passo 7
Comentário final e incentivo: portanto a sequência converge e o limite é
. Se quiser, você pode lembrar do exemplo clássico
; aqui temos uma versão com fator
no pequeno incremento, o que leva a
. Vai dar tudo certo na prova — você já entendeu a ideia principal!