Cálculo de c_n para n\neq0 por integração por partes.
Tomamos, para a integral \int_{0}^{\pi} x e^{-i n x}\,dx, as funções
u=x,\qquad dv=e^{-i n x}\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\int e^{-i n x}\,dx=\frac{e^{-i n x}}{-i n}=-\frac{e^{-i n x}}{i n}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = u v - \int v\,du:
\int_{0}^{\pi} x e^{-i n x}\,dx = \left.-\frac{x e^{-i n x}}{i n}\right|_{0}^{\pi} -\int_{0}^{\pi}\left(-\frac{e^{-i n x}}{i n}\right)\,dx.
A segunda integral é
-\int_{0}^{\pi}\left(-\frac{e^{-i n x}}{i n}\right)\,dx = \frac{1}{i n}\int_{0}^{\pi} e^{-i n x}\,dx = \frac{1}{i n}\left[\frac{e^{-i n x}}{-i n}\right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{n^{2}}\left(e^{-i n \pi}-1\right).
Agora avalia o primeiro termo:
\left.-\frac{x e^{-i n x}}{i n}\right|_{0}^{\pi} = -\frac{\pi e^{-i n \pi}}{i n} - \left(0\right).
Portanto
\int_{0}^{\pi} x e^{-i n x}\,dx = -\frac{\pi e^{-i n \pi}}{i n} -\frac{1}{n^{2}}\left(e^{-i n \pi}-1\right).
Passo 5
Expressão de c_n usando e^{-i n \pi}=(-1)^{n}.
Multiplicando por 1/(2\pi) para obter c_n,
c_n=\frac{1}{2\pi}\left(-\frac{\pi e^{-i n \pi}}{i n}-\frac{1}{n^{2}}\bigl(e^{-i n \pi}-1\bigr)\right).