Determine a série complexa de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -\pi<x<0 \\\ x, & 0<x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a série complexa de Fourier de f no intervalo (-\pi,\pi).
Informações dadas:
  • A função é dada por
f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<\pi. \end{cases}
  • Quer-se a série complexa de Fourier, ou seja, escrever
f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n x},
onde os coeficientes complexos são dados por
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-i n x}\,dx,\qquad n\in\mathbb{Z}.]

Passo 2

Redução da integral usando a definição por partes de f.
Como f(x)=0 em (-\pi,0) e f(x)=x em (0,\pi), a integral para c_n reduz-se a
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} x\,e^{-i n x}\,dx,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Devemos tratar separadamente o caso n=0 e o caso n\neq0.

Passo 3

Cálculo de c_0.
Por definição,
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} x\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{2}.
Logo
c_0=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\pi^{2}}{2}=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Cálculo de c_n para n\neq0 por integração por partes.
Tomamos, para a integral \int_{0}^{\pi} x e^{-i n x}\,dx, as funções
u=x,\qquad dv=e^{-i n x}\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\int e^{-i n x}\,dx=\frac{e^{-i n x}}{-i n}=-\frac{e^{-i n x}}{i n}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = u v - \int v\,du:
\int_{0}^{\pi} x e^{-i n x}\,dx = \left.-\frac{x e^{-i n x}}{i n}\right|_{0}^{\pi} -\int_{0}^{\pi}\left(-\frac{e^{-i n x}}{i n}\right)\,dx.
A segunda integral é
-\int_{0}^{\pi}\left(-\frac{e^{-i n x}}{i n}\right)\,dx = \frac{1}{i n}\int_{0}^{\pi} e^{-i n x}\,dx = \frac{1}{i n}\left[\frac{e^{-i n x}}{-i n}\right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{n^{2}}\left(e^{-i n \pi}-1\right).
Agora avalia o primeiro termo:
\left.-\frac{x e^{-i n x}}{i n}\right|_{0}^{\pi} = -\frac{\pi e^{-i n \pi}}{i n} - \left(0\right).
Portanto
\int_{0}^{\pi} x e^{-i n x}\,dx = -\frac{\pi e^{-i n \pi}}{i n} -\frac{1}{n^{2}}\left(e^{-i n \pi}-1\right).

Passo 5

Expressão de c_n usando e^{-i n \pi}=(-1)^{n}.
Multiplicando por 1/(2\pi) para obter c_n,
c_n=\frac{1}{2\pi}\left(-\frac{\pi e^{-i n \pi}}{i n}-\frac{1}{n^{2}}\bigl(e^{-i n \pi}-1\bigr)\right).
Substituindo e^{-i n \pi}=(-1)^{n},
c_n=\frac{1}{2\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{i n}-\frac{1}{n^{2}}\bigl((-1)^{n}-1\bigr)\right).
Simplificando termo a termo:
c_n=-\frac{(-1)^{n}}{2 i n}+\frac{1-(-1)^{n}}{2\pi n^{2}},\qquad n\neq0.

Passo 6

Interpretação por paridade (opcional, para facilitar a leitura).
  • Se n é par, então (-1)^{n}=1. Nesse caso
c_n=-\frac{1}{2 i n},\qquad n\\ \text{par},\\ n\neq0,
pois o segundo termo se anula.
  • Se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1. Nesse caso
c_n=\frac{1}{2 i n}+\frac{1}{\pi n^{2}},\qquad n\\ \text{ímpar}.í

Passo 7

Escrevendo a série complexa de Fourier.
A série complexa de Fourier de f no intervalo (-\pi,\pi) é
f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n x},
com
c_0=\frac{\pi}{4}, \qquad c_n=-\frac{(-1)^{n}}{2 i n}+\frac{1-(-1)^{n}}{2\pi n^{2}}\quad(n\neq0).

Resposta

f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n x},
c_0=\frac{\pi}{4}, \qquad c_n=-\frac{(-1)^{n}}{2 i n}+\frac{1-(-1)^{n}}{2\pi n^{2}}\quad(n\neq0).

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