Determine a série complexa de Fourier de f no intervalo indicado. f(x)=\left\{\begin{array}{rr}-1, & -2<x<0 \\\\ 1, & 0<x<2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes definida em (-2,2)\):
\[f(x)=\begin{cases} -1, & -2<x<0,\\[4pt] 1, & 0<x<2, \end{cases}
e pede a série complexa de Fourier de f\] no intervalo indicado. Informação importante extraída do enunciado:
- O período natural a considerar é \(T=4 (a função está dada em (-2,2), logo a extensão periódica tem período 4).
- A função vale \pm1 em cada metade do intervalo e tem descontinuidade em x=0 (isso indica uma onda quadrada ímpar).
O que se pede: encontrar os coeficientes complexos c_n e escrever
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 x},
com \omega_0 apropriado para T=4.]
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa).
Para uma função periódica de período T=2L (aqui L=2), a série complexa de Fourier tem a forma
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \frac{\pi}{L} x}.
Aqui \frac{\pi}{L} é a frequência angular fundamental e n é um índice inteiro.
Os coeficientes complexos são dados por
c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)\,e^{-i n \frac{\pi}{L} x}\,dx.
No nosso caso L=2, portanto T=4 e a fórmula fica
c_n=\frac{1}{4}\int_{-2}^{2} f(x)\,e^{-i n \frac{\pi}{2} x}\,dx,
e a série é
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \frac{\pi}{2} x}.
Explicando intuitivamente: c_n mede quanto do modo complexo e^{i n \pi x/2} está presente em f. Nossa tarefa é calcular essa integral para cada n.
Passo 3
Cálculo de c_0 (muito importante tratar separadamente o caso n=0).
c_0=\frac{1}{4}\int_{-2}^{2} f(x)\,dx.
Como f é ímpar (ou seja, f(-x)=-f(x)), a integral de -2 a 2 de f é zero. Logo
c_0=0.
Passo 4
Cálculo geral de c_n para n\neq0. Vamos partir a integral na junção das duas peças onde f é constante:
c_n=\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{2} 1\cdot e^{-i a x}\,dx + \int_{-2}^{0} (-1)\cdot e^{-i a x}\,dx\right),
onde por simplicidade define-se a:=\dfrac{n\pi}{2}. Aqui foi usado que em 0<x<2 vale f(x)=1 e em -2<x<0 vale f(x)=-1.
Passo 5
Avaliação das integrais elementares. Calcule cada integral explicitamente:
\int_{0}^{2} e^{-i a x}\,dx=\left[\frac{e^{-i a x}}{-i a}\right]_{0}^{2}=\frac{e^{-i2a}-1}{-i a}.
\int_{-2}^{0} e^{-i a x}\,dx=\left[\frac{e^{-i a x}}{-i a}\right]_{-2}^{0}=\frac{1-e^{i2a}}{-i a}.
Multiplicando a segunda por -1 (por causa do fator -1 em f na segunda integral) obtemos a contribuição
- \int_{-2}^{0} e^{-i a x}\,dx = -\frac{1-e^{i2a}}{-i a}=\frac{1-e^{i2a}}{i a}.
Passo 6
Somando as contribuições e simplificando usando e^{\pm i2a}=e^{\pm i n\pi}=(-1)^n.
Somando:
\int_{0}^{2} e^{-i a x}\,dx - \int_{-2}^{0} e^{-i a x}\,dx = \frac{(-1)^n-1}{-i a} + \frac{1-(-1)^n}{i a}.
Chamando S:=(-1)^n-1, a expressão acima fica
\frac{S}{-i a} - \frac{S}{i a} = -\frac{2S}{i a}.
Portanto, lembrando do fator \tfrac{1}{4} em c_n,
c_n=\frac{1}{4}\left(-\frac{2S}{i a}\right)=-\frac{S}{2 i a}.
Substituindo S=(-1)^n-1 e a=\dfrac{n\pi}{2}, obtemos, para n\neq0,
c_n=-\frac{(-1)^n-1}{2 i \,\dfrac{n\pi}{2}}=-\frac{(-1)^n-1}{i n\pi}.
Passo 7
Análise do resultado por paridade de n\) (isso facilita a interpretação e simplificação).
- Se \(n\) é par então \((-1)^n=1\), logo \((-1)^n-1=0\) e \(c_n=0\).
- Se \(n\) é ímpar então \((-1)^n=-1\), logo \((-1)^n-1=-2\) e
\[c_n=-\frac{-2}{i n\pi}=\frac{2}{i n\pi}=-\frac{2i}{n\pi}.