Determine a série complexa de Fourier de f no intervalo indicado. f(x)=x, 0<x<2 \pi
Passo 1
O enunciado dá a função f definida por f(x)=x no intervalo 0<x<2\pi e pede: determinar a série complexa de Fourier de f nesse intervalo.
Informações relevantes que temos:
Função: f(x)=x para 0<x<2\pi.
Intervalo base: (0,2\pi), portanto a série será com período 2\pi.
Queremos a forma complexa da série (coeficientes c_n e a soma \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n e^{inx}).
A resolução começa encontrando os coeficientes complexos c_n e depois escrevendo a série.
Passo 2
Fórmula dos coeficientes complexos. Para uma função 2\pi-periódica integrável, os coeficientes complexos são dados por
Aqui n é um inteiro (positivo, zero ou negativo). Vou usar essa fórmula com f(x)=x. Antes de integrar, vale lembrar a ideia: multiplicar por e^{-inx} e integrar captura a “componente” na frequência n. Agora calculamos separadamente c_0 e c_n para n\neq0.
Interpretação rápida: c_0 é a média da função no período; a média de x em (0,2\pi) é \pi.
Passo 4
Cálculo de c_n para n\neq0. Usamos integração por partes. Começamos com
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} x e^{-inx}\,dx.
Aplicando integração por partes: escolha u=x e dv=e^{-inx}dx. Então du=dx e v=\displaystyle -\frac{e^{-inx}}{in} (pois \displaystyle \frac{d}{dx}e^{-inx}=-in e^{-inx}). A fórmula de integração por partes é \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du. Assim
\int_{0}^{2\pi} x e^{-inx}\,dx = \left[-\frac{x e^{-inx}}{in}\right]_{0}^{2\pi} + \frac{1}{in}\int_{0}^{2\pi} e^{-inx}\,dx.
Agora avaliamos as duas parcelas. Para a segunda integral,