Determine a série complexa de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=x, 0<x<2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x no intervalo 0<x<2\pi e pede: determinar a série complexa de Fourier de f nesse intervalo.
Informações relevantes que temos:
  • Função: f(x)=x para 0<x<2\pi.
  • Intervalo base: (0,2\pi), portanto a série será com período 2\pi.
  • Queremos a forma complexa da série (coeficientes c_n e a soma \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n e^{inx}).
    A resolução começa encontrando os coeficientes complexos c_n e depois escrevendo a série.

Passo 2

Fórmula dos coeficientes complexos. Para uma função 2\pi-periódica integrável, os coeficientes complexos são dados por
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)e^{-inx}\,dx,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Aqui n é um inteiro (positivo, zero ou negativo). Vou usar essa fórmula com f(x)=x. Antes de integrar, vale lembrar a ideia: multiplicar por e^{-inx} e integrar captura a “componente” na frequência n. Agora calculamos separadamente c_0 e c_n para n\neq0.

Passo 3

Cálculo de c_0. Pela fórmula,
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} x\,dx.
Calcular a integral é direto:
\int_{0}^{2\pi} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{2\pi}=\frac{(2\pi)^2}{2}=2\pi^2.
Logo
c_0=\frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi^2=\pi.
Interpretação rápida: c_0 é a média da função no período; a média de x em (0,2\pi) é \pi.

Passo 4

Cálculo de c_n para n\neq0. Usamos integração por partes. Começamos com
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} x e^{-inx}\,dx.
Aplicando integração por partes: escolha u=x e dv=e^{-inx}dx. Então du=dx e v=\displaystyle -\frac{e^{-inx}}{in} (pois \displaystyle \frac{d}{dx}e^{-inx}=-in e^{-inx}). A fórmula de integração por partes é \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du. Assim
\int_{0}^{2\pi} x e^{-inx}\,dx = \left[-\frac{x e^{-inx}}{in}\right]_{0}^{2\pi} + \frac{1}{in}\int_{0}^{2\pi} e^{-inx}\,dx.
Agora avaliamos as duas parcelas. Para a segunda integral,
\int_{0}^{2\pi} e^{-inx}\,dx=\left.\frac{e^{-inx}}{-in}\right|_{0}^{2\pi}=-\frac{1}{in}\bigl(e^{-in2\pi}-e^{0}\bigr).
Mas e^{-in2\pi}=1 para todo inteiro n, logo essa integral é zero. Assim a segunda parcela some. Resta apenas a parcela de contorno:
\int_{0}^{2\pi} x e^{-inx}\,dx = -\frac{2\pi e^{-in2\pi}}{in} - \left(-\frac{0\cdot e^{0}}{in}\right) = -\frac{2\pi}{in}.
Simplificando -\dfrac{2\pi}{in}=\dfrac{2\pi i}{n}. Portanto
c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi i}{n}=\frac{i}{n},\qquad n\neq0.

Passo 5

Escrevendo a série complexa. Reunindo os coeficientes:
c_0=\pi,\qquad c_n=\frac{i}{n}\\ \\ (n\neq0).
A série complexa de Fourier é
f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} = \pi + \sum_{\substack{n=-\infty\\\ n\neq0}}^{\infty} \frac{i}{n} e^{inx}.
É útil também apresentar a forma real (pares n e -n combinados) para reconhecer a série seno conhecida. Para n>0,
c_n e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}=\frac{i}{n}e^{inx}+\frac{i}{-n}e^{-inx} =\frac{i}{n}\bigl(e^{inx}-e^{-inx}\bigr)= -\frac{2}{n}\sin(nx).
Somando para todos n\ge1 e adicionando c_0=\pi, obtemos a forma real
f(x)=\pi - 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(nx),\qquad 0<x<2\pi,
que é a série de Fourier (converge para x no intervalo aberto ao valor x).

Resposta

c_0=\pi,\qquad c_n=\frac{i}{n}\\ (n\neq0),
\displaystyle f(x)\sim \pi + \sum_{\substack{n=-\infty\\\ n\neq0}}^{\infty}\frac{i}{n}e^{inx} \quad\text{ou}\quad \displaystyle f(x)=\pi - 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(nx)\\ \text{para }0<x<2\pi.

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