Determine a série complexa de Fourier de f\) no intervalo indicado. \(f(x)= \begin{cases}0, & 0<x<1 \\\\ 1, & 1<x<2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a série complexa de Fourier de f\) no intervalo indicado. Dados fornecidos: - A função é periódica no intervalo de comprimento \(2\) (está dada em \(0<x<2\)): \[f(x)=\begin{cases} 0, & 0<x<1,\\[4pt] 1, & 1<x<2. \end{cases}
  • Objetivo: encontrar os coeficientes complexos (c_n] da série
    f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 x},
    e então escrever a própria série.]

Passo 2

Vou lembrar a fórmula geral da série complexa de Fourier para uma função de período T:
  • A frequência angular fundamental é \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}.
  • Os coeficientes são dados por
c_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(x)\,e^{-i n \omega_0 x}\,dx,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Aqui o período é T=2, logo
\omega_0=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Assim usarei
c_n=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} f(x)\,e^{-i n \pi x}\,dx.
Explico rapidamente o que cada símbolo significa:
  • T é o período (aqui 2);
  • \omega_0 é a frequência angular base (aqui \pi);
  • n é um inteiro que indexa as harmônicas;
  • c_n é o coeficiente complexo associado à harmônica n.

Passo 3

Calcular c_0 (média da função no período):
c_0=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Como f(x)=0 em (0,1) e f(x)=1 em (1,2),
c_0=\frac{1}{2}\int_{1}^{2} 1\,dx=\frac{1}{2}\cdot(2-1)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora calculo c_n para n\neq 0:
c_n=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} f(x)\,e^{-i n \pi x}\,dx =\frac{1}{2}\int_{1}^{2} e^{-i n \pi x}\,dx,
porque f(x)=0 em (0,1). Avaliando a integral (para n\neq 0):
\int_{1}^{2} e^{-i n \pi x}\,dx =\left[\frac{e^{-i n \pi x}}{-i n \pi}\right]_{x=1}^{x=2} =\frac{1}{-i n \pi}\bigl(e^{-i n \pi\cdot 2}-e^{-i n \pi\cdot 1}\bigr).
Como e^{-i n \pi\cdot 2}=e^{-i 2 n \pi}=1 (expoente múltiplo de 2\pi i), fica
\int_{1}^{2} e^{-i n \pi x}\,dx=\frac{1}{-i n \pi}\bigl(1-e^{-i n \pi}\bigr).
Portanto
c_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{-i n \pi}\bigl(1-e^{-i n \pi}\bigr) =\frac{1-e^{-i n \pi}}{-2 i n \pi}.

Passo 5

Simplifico a expressão usando e^{-i n \pi}=(-1)^n:
c_n=\frac{1-(-1)^n}{-2 i n \pi}=\frac{(-1)^n-1}{2 i n \pi},\qquad n\neq 0.
Observações úteis e casos especiais:
  • Se n é par, (-1)^n=1 e então c_n=0.
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e então
c_n=\frac{-2}{2 i n \pi}=-\frac{1}{i n \pi}=\frac{i}{n\pi}.
Logo, de forma compacta:
c_n=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}, & n=0,\\[6pt] \displaystyle 0, & n\text{ par},\\ n\neq 0,\\[6pt] \displaystyle \dfrac{i}{n\pi}, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

Passo 6

Escrevo a série complexa usando esses coeficientes:
f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \pi x},
com c_n dados no passo anterior. Pode-se também restringir a soma às harmônicas ímpares (já que coeficientes pares são zero):
f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{i}{(2k-1)\pi}e^{i(2k-1)\pi x}+\frac{i}{-(2k-1)\pi}e^{-i(2k-1)\pi x}\right).
Se quiser transformar em série de senos (forma real), combinar termos conjugados dá
f(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\sin\bigl((2k-1)\pi x\bigr),
válido nos pontos de continuidade e igualando a média dos limites nos pontos de descontinuidade. (Isso é só um comentário; a série complexa pedida está acima.)

Resposta

c_n=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}, & n=0,\\[6pt] \displaystyle 0, & n\text{ par},\\ n\neq 0,\\[6pt] \displaystyle \dfrac{i}{n\pi}, & n\text{ ímpar}, \end{cases} \qquad f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \pi x}.í]

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