Determine a série complexa de Fourier de f\) no intervalo indicado.
\(f(x)= \begin{cases}0, & 0<x<1 \\\\ 1, & 1<x<2\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede a série complexa de Fourier de f\) no intervalo indicado. Dados fornecidos:
- A função é periódica no intervalo de comprimento \(2\) (está dada em \(0<x<2\)):
\[f(x)=\begin{cases} 0, & 0<x<1,\\[4pt] 1, & 1<x<2. \end{cases}
Objetivo: encontrar os coeficientes complexos (c_n] da série f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 x},
e então escrever a própria série.]
Passo 2
Vou lembrar a fórmula geral da série complexa de Fourier para uma função de período T:
A frequência angular fundamental é \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}.
Os coeficientes são dados por
c_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(x)\,e^{-i n \omega_0 x}\,dx,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Aqui o período é T=2, logo
\omega_0=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Assim usarei
c_n=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} f(x)\,e^{-i n \pi x}\,dx.
Explico rapidamente o que cada símbolo significa:
T é o período (aqui 2);
\omega_0 é a frequência angular base (aqui \pi);
n é um inteiro que indexa as harmônicas;
c_n é o coeficiente complexo associado à harmônica n.
c_n=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} f(x)\,e^{-i n \pi x}\,dx =\frac{1}{2}\int_{1}^{2} e^{-i n \pi x}\,dx,
porque f(x)=0 em (0,1). Avaliando a integral (para n\neq 0):
\int_{1}^{2} e^{-i n \pi x}\,dx =\left[\frac{e^{-i n \pi x}}{-i n \pi}\right]_{x=1}^{x=2} =\frac{1}{-i n \pi}\bigl(e^{-i n \pi\cdot 2}-e^{-i n \pi\cdot 1}\bigr).
Como e^{-i n \pi\cdot 2}=e^{-i 2 n \pi}=1 (expoente múltiplo de 2\pi i), fica
\int_{1}^{2} e^{-i n \pi x}\,dx=\frac{1}{-i n \pi}\bigl(1-e^{-i n \pi}\bigr).
Portanto
c_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{-i n \pi}\bigl(1-e^{-i n \pi}\bigr) =\frac{1-e^{-i n \pi}}{-2 i n \pi}.
Passo 5
Simplifico a expressão usando e^{-i n \pi}=(-1)^n:
c_n=\frac{1-(-1)^n}{-2 i n \pi}=\frac{(-1)^n-1}{2 i n \pi},\qquad n\neq 0.
Observações úteis e casos especiais:
Se n é par, (-1)^n=1 e então c_n=0.
Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e então
c_n=\frac{-2}{2 i n \pi}=-\frac{1}{i n \pi}=\frac{i}{n\pi}.
válido nos pontos de continuidade e igualando a média dos limites nos pontos de descontinuidade. (Isso é só um comentário; a série complexa pedida está acima.)